TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 346

Man berechne die Ableitung von $f(x,y)=x^{2}+4y^{2}$ im Punkt $P_{0}(3,2)$

1. (a) in Richtung der Koordinatenachsen,
2. (b) in Richtung von (−1, −1), sowie
3. (c) in Richtung von grad f.

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Hilfreiches

Gradient

Gradient

$\mathrm {grad} \ f={\begin{pmatrix}f_{x_{1}}\\\vdots \\f_{x_{n}}\\\end{pmatrix}}$

Lösungsvorschlag

$f_{x}=2x$

$f_{y}=8y$

$\operatorname {grad} f(x,y)={\begin{pmatrix}2x\\8y\end{pmatrix}}$

$\operatorname {grad} f(x_{0},y_{0})={\begin{pmatrix}2\cdot 3\\8\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\16\end{pmatrix}}$

Beispiel (a)

X-Richtung: $\operatorname {grad} f\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\16\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=6\cdot 1+16\cdot 0=6$

Y-Richtung: $\operatorname {grad} f\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\16\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=6\cdot 0+16\cdot 1=16$

Beispiel (b)

Vektor auf Länge 1 normieren:

$\left|\left|{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}\right|\right|={\sqrt {(-1)^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {2}}\Rightarrow \operatorname {grad} f\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$\operatorname {grad} f\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\begin{pmatrix}6\\16\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}={\frac {-1\cdot 6-1\cdot 16}{\sqrt {2}}}={\frac {-22}{\sqrt {2}}}\approx -15.556$

Beispiel (c)

$\left|\left|{\begin{pmatrix}6\\16\end{pmatrix}}\right|\right|={\sqrt {6^{2}+16^{2}}}={\sqrt {292}}$

$\operatorname {grad} f\cdot {\frac {1}{\sqrt {292}}}\cdot {\begin{pmatrix}6\\16\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {292}}}\cdot {\begin{pmatrix}6\\16\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6\\16\end{pmatrix}}={\frac {6\cdot 6+16\cdot 16}{\sqrt {292}}}={\frac {292}{\sqrt {292}}}={\sqrt {292}}\approx 17.088$

Links

• Lösung aus dem WS04 (PDF)
• Die_Richtungsableitung