TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 179

Man berechne das Kurvenintegral der skalarwertigen Funktion $f$ längs der Kurve $c$ : $f(x,y)=2x+5y$ , $c(t)=(\cos t,\sin t)$ , $0\leq t\leq \pi$ .

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kurvenintegral

Kurvenintegral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kurvenintegral einer Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ entlang einer Kurve $k:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ :

\int \limits _{K}f\;ds=\int _{a}^{b}f(k(t))\cdot ||k'(t)||\;dt

Lösung von axestr[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kurvenintegral der skalarwertigen Funktion $f(x,y)=2x+5y$ entlang der Kurve $c(t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}$ für $0\leq t\leq \pi$ beträgt $\int _{0}^{\pi }f(c(t))\cdot ||c'(t)||dt$ .

$||c'(t)||={\begin{Vmatrix}{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}'\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\end{Vmatrix}}={\sqrt {(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}}={\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}={\sqrt {1}}=1.$

$\int _{0}^{\pi }f(c(t))\cdot ||c'(t)||dt=\int _{0}^{\pi }f(\cos t,\sin t)dt=\int _{0}^{\pi }2\cos {t}+5\sin {t}\ dt=2\int _{0}^{\pi }\cos {t}\ dt\quad +\quad 5\int _{0}^{\pi }\sin {t}\ dt=$