TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 9
Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld entlang des Weges von nach und entlang des Streckenzugs .
Theoretische Grundlagen: Berechnung des Kurvenintegrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Berechnung des Kurvenintegrals
- Dem Feldvektor ´die Koordinaten durch die parameterunabh. Koordinaten der Raumkurve ersetzen. Feldvektor und Komponenten hängen nur noch von t ab. Differenzierung des Ortsvektors nach t - erhalten Tangentenvektor. Bildung skalares Produkt aus Feld- u. Tangentenvektor
- Skalarprodukt nur noch von t abh - gewöhnliche Integration in festzulegenden grenzen
OK,also machen wir uns mal an die Kurve - in unserm Fall gibt es aber nur x und y, so dass wir nun in Parameterform darstellen müssen ... hilfreich zur Parametrisierung sind folgende Links:
- Thread 1 aus Matheplanet
- Thread 2 aus Matheplanet
- Thread aus Newsgroup de.sci.mathematik
- Mathworld - Parametric Equations
Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Weg entlang [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
ist demnach m.E. wie folgt zu parametrisieren:
- Explizite Darstellung:
- Parametrisierung der Kurve: mit . Ich nehme hier explizit nur die positive Lösung, denn die negative kommt m.E. nicht in Betracht (neg. x(t)-Werte => nicht in Angabe)
OK, und nun bilden wir den Tangentialvektor , als da ist: .
Das nach parametrisierte u ist dann
Nun bilden wir das Kurvenintegral durch (Integral über Skalarprodukt), als da ist:
Anmerkung von axestr man kann auch einfach in anstatt y=t(x) nach x=t(y) parametriesieren: . Dann braucht man sich keine Gedanken über eine +/- Fallunterscheidung machen, und berechnet halt .
Streckenzug[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
... entlang des Streckenzugs
Hilfreich ist es, sich eine Grafik aufzuzeichnen, aus der ersichtlich wird, dass der Streckenzug aus drei Teilen besteht, welche wir sogleich parametrisieren und die Tangentialvektoren bilden:
- : K1
- y = 0
- : K2
- x = 3
- : K3
- * K3 (nicht notwendig, da Sreckenzug nicht geschlossen)
Die Kurvenintegrale zusammengezählt ergeben dann das Kurvenintegral des Streckenzugs. Wir bilden nun die einzelnen Kurvenintegrale:
- K1
- parametrisiert:
- K2
- parametrisiert:
- K3 (nicht notwendig, da Sreckenzug nicht geschlossen)
- parametrisiert:
- (- wegen Richtungsumkehr!)
Danach (K1 + K2) zusammenrechnen.
Anmerkung von axestr: Wenn man wie oben angemerkt in die andere Richtung parametriesiert, dann hat man für den Streckenzug (0,0)->(3,0)->(3,2) die Summe von , was man dann schon im ersten Bsp. berechnet hat ;-)
Material,Links und Literatur:[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Wer in der VO vom 09.05. aufgepasst hat, hat den Streckenzug de facto vorgerechnet bekommen
- Links zur Parametrisierung wurden oben gegeben
- Zum Kurvenintegral sehr anschaulich ein Link
- Empfehle Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwiss., Bd. 3, S. 147ff.
--Markus Nemetz 05:56, 18. Mai 2006 (CEST)
Informatikforum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Aktueller Thread --Markus Nemetz 05:56, 18. Mai 2006 (CEST)
- UE Runde 8 (18.05.06), Gruppe 12, Allg. Tipps --Markus Nemetz 08:35, 11. Mai 2006 (CEST)
Andere Websites[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Kurvenintegral entlang ... (13.1.1.) --Markus Nemetz 08:47, 11. Mai 2006 (CEST)
Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 71 / SS07 Beispiel 133