TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 239

Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld $\overrightarrow{u}(\overrightarrow{x})=\left(\begin{array}{c}x{y}^2\\ x^2-y\end{array}\right)$ entlang des Weges $3y^2=4x$ von (0,0) nach (3,2) und entlang des Streckenzuges (0,0) --> (3,0) --> (3,2)

Lösungsvorschlag

von ichchefdunix

- Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld

Kommentar

Gleich am Anfang wird aus ((3/4)*t^2)^2 ein (3/4)*t^4

Sollte dort nicht (9/16)*t^4 stehn? [1]

Mein Lösung entspricht dann 13,2

Edit[Nudel]: 13.6 ist es laut wolfram.

Lösungsvorschlag von vitamin

Allgemein gilt (s. Buch p.260, Def. 6.57): ${\int }_{\overrightarrow{c}}\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})\cdot d\overrightarrow{x}={\int }_a^b\overrightarrow{f}(\overrightarrow{c}(t))\cdot \overrightarrow{c}{}^{\prime }(t)\cdot dt$

• Kurve parametrisieren

$\begin{array}{ccc}& 3y^2=4x& \\ & y=t& \\ & \frac{3t^2}{4}=x& \Rightarrow \overrightarrow{c}(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{4}{t}^2\\ t\end{array}\right),t\in [0,2]& \\ & \overrightarrow{c}{}^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}t\\ 1\end{array}\right)& \\ \end{array}$

• in die Formel einsetzen und berechnen

$\begin{array}{cc}{\int }_{\overrightarrow{c}}\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})\cdot d\overrightarrow{x}& ={\int }_{\overrightarrow{c}}(x\cdot y^2\cdot dx+(x^2-y)\cdot dy)\\ & ={\int }_0^2(\frac{3}{4}{t}^2\cdot t^2\cdot \frac{3}{2}t+\frac{9}{16}{t}^4-t)\cdot dt\\ & =\frac{9}{8}{\int }_0^2{t}^5\cdot dt+\frac{9}{16}{\int }_0^2{t}^4\cdot dt-{\int }_0^{2}t\cdot dt\\ & =(\frac{9}{8}\cdot \frac{t^6}{6}+\frac{9}{16}\cdot \frac{t^5}{5}-\frac{t^2}{2}){|}_0^2\\ & =\frac{68}{5}\\ & =\mathrm{13,6}\end{array}$

Vitamin 17:26, 13. Jun. 2010 (CEST)