TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 215

Sei $a\geq 0$. Berechnen Sie $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{a+1}}}\sum _{k=1}^{n}k^{a}$

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von puppenhaus

Hinweis: a mit g in der Angabe ersetzt zwecks Übersicht.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{g+1}}}\sum _{k=1}^{n}k^{g}$

Riemannsches Integral als Summe:

$\Delta x={\frac {b-a}{n}}$

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{x\to \infty }\Delta x\sum _{k=1}^{n}f(a+k\cdot \Delta x)$

In unserer Angabe ist das a (hier das g) irgendeine Zahl $\geq 0$!

Aus der Angabe heraus ergibt sich: a = 0, b = 1 (sind praktische Grenzen zum berechnen)

Einsetzen ergibt:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f{\Bigl (}{\frac {k}{n}}{\Bigr )}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{g+1}}}\sum _{k=1}^{n}k^{g}$

Es muss also gelten: $f{\Bigl (}{\frac {k}{n}}{\Bigr )}={\frac {k^{g}}{n^{g}}}$

wir haben beim rechten Ausdruck noch 1/n stehen, wenn wir das rüber bringen: ${\frac {1}{\frac {n^{g+1}}{n}}}={\frac {1}{n^{g}}}$

--> f(x) = x^g In das Integral, Grenzen einsetzen:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{0}^{1}x^{g}\,dx={\frac {x^{g+1}}{g+1}}\vert _{0}^{1}={\frac {1}{g+1}}$

Anmerkungen

ge-TeX-ed von f.post:640533

Links

• Informatik-Forum Thread