TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 222

Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung: $a_n=\frac{n+2}{3n}{a}_{n-1}+n^2+3n+2$

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Musterloesung von Prof. Eigenthaler

Da das Beispiel keiner geschafft hat, stellte uns Prof. Eigenthaler eine Musterloesung bereit:

$a_n=\frac{n+2}{3n}{a}_{n-1}+n^2+3n+2,n\ge 1$

Eigenschaften: linear, inhomogen, 1. Ordnung (Buchseiten 273-275)

homogene Gleichung:

$a_n=\frac{n+2}{3n}{a}_{n-1}=:\lambda a_{n-1}$

Wir setzen $a_0=:C$, dann gilt:

$a_n=C\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot \dots \cdot {\lambda }_n=C\frac{3\cdot 4\cdot \dots \cdot (n+2)}{3^n\cdot 1\cdot 2\cdot \dots \cdot n}=C\frac{(n+2)!}{2\cdot 3^n\cdot n!}=C\frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n}=:a_n^{(h)}$

Das ist die allgemeine Loesung der homogenen Gleichung.

Probe:

$\frac{a_n^{(h)}}{a_{n-1}^{(h)}}=\frac{\frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n}}{\frac{n(n+1)}{2\cdot 3^{n-1}}}=\frac{2(n+1)(n+2)3^{n-1}}{2n(n+1)3^n}=\frac{n+2}{3n}$

inhomogene Gleichung:

Ansatz: Variation der Konstanten.

$a_n^{(p)}=C_n\frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n}=\frac{n+2}{3n}{C}_{n-1}\frac{n(n+1)}{2\cdot 3^{n-1}}+n^2+3n+2$

$\Rightarrow (C_n-C_{n-1})\frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n}=n^2+3n+2=(n+1)(n+2)$

$\Rightarrow C_n-C_{n-1}=2\cdot 3^n\Rightarrow C_n=C_{n-1}+2\cdot 3^n$

Wir waehlen $C_0=0$ und erhalten:

$C_1=2\cdot 3,\dots ,C_n=2\cdot 3+\dots +2\cdot 3^n$ also

$C_n=2\cdot 3\cdot (1+3+\dots +3^{n-1})=2\cdot 3\frac{3^n-1}{3-1}=3(3^n-1)$ und somit

$a_n^{(p)}=C_n\frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n}=3(3^n-1)\frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n}$

das ist unsere partikulaere Loesung.

Jetzt koennen wir die allgemeine Loesung anschreiben:

$a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)}=(C+3(3^n-1))\frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n}=(C+3^{n+1}-3)\frac{n^2+3n+2}{2\cdot 3^n},C\in ℝ$

--Lewurm 21:07, 12. Jun 2008 (CEST)

Links

ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 205

• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 206