TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 163

Stellen Sie eine Rekursion für die gesuchten Zahlen $a_{n}$ auf und lösen Sie diese:

$a_{n}$ sei die größte Anzahl von Teilen, in die eine Kugel durch n Großkreise zerlegt werden kann. (Ein Großkreis ist ein Kreis auf der Kugel, dessen Mittelpunkt gleich dem Kugelmittelpunkt ist.)

Lösungsvorschlag von Baccus

Die Parameter der gesuchten Lösung können hier nur empirisch gefunden werden.

• Ein Großkreis schneidet alle vorher eingeschriebenen Großkreise, falls er nicht ein identischer ist.
• Um die Anzahl der Kugelfraktionen maximal zu machen, darf der neue Großkreis keine Schnittpunkte der vorherigen Teilungen beinhalten.

(Wie in der Empirik üblich, gibt es dazu keine (mathematischen) Beweise; nehmt eine Orange und spannt experimentelle Gummiringe drum 'rum :))

Jeder neu eingeschriebene, non-prä-idente Großkreis teilt also die schon existierenden Kugelfragmente in zwei Teile. Das passiert jeweils sowohl auf der Kugelvorder- und Kugel-Rückseite: $a_{n+1}=a_{n}+2n$

---

Damit können wir arbeiten:

$a_{n}=a_{n-1}+2(n-1),\quad n\geq 2,\quad a_{1}=2,\;a_{0}=1$,

also ist:

$a_{n}=2+\underbrace {2(2-1)+2(2)+2(3)+\cdots +2(n-1)} _{arithm.Reihe}$

Mit der Summenformel für arithm. Reihen ergibt sich:

$a_{n}=2+\;(n-1){\frac {2+2(n-1)}{2}}$

Kürzen: $a_{n}=2+(n-1)n$

--Baccus 00:58, 7. Jun 2007 (CEST)

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