TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 322

Man bestimme die erzeugende Funktion der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}:a_{n}=n+n3^{n}$

Lösungsvorschlag

crispy's Versuch

Grundlegend bildet man die erzeugende Funktion mit einer unendliche Reihe

$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}*z^{n}$

Das ist bei uns:

${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }(n+n3^{n})*z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n*z^{n}+n3^{n}*z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n*z^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }n3^{n}*z^{n}\end{aligned}}$

Wendet man die Rechenregeln für erzeugende Funktionen an (Buch S. 277f):

Folge	erzeugende Funktion	Bemerkung
1,1,1,...	$1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots ={\frac {1}{1-z}}$
0,1,2,3,...	$A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}=z+2z^{2}+3z^{3}+...=z\left({\frac {1}{1-z}}\right)'={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$	arithmetische Reihe
$1,q,q^{2},q^{3}$...	$A(z)=1+qz+q^{2}z^{2}+q^{3}z^{3}+...={\frac {1}{1-qz}}$	geometrische Reihe
$\gamma ^{n}a_{n}$	$A(\gamma z)$
...

so erhält man für den Teil $\sum _{n=0}^{\infty }n*z^{n}:{\frac {z}{(1-z)^{2}}}{\text{ und f}}{\ddot {\text{u}}}{\text{r }}\sum _{n=0}^{\infty }n3^{n}*z^{n}:A(3z)={\frac {3z}{(1-3z)^{2}}}$ und das ist ausgeschrieben:

$X(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}+{\frac {3z}{(1-3z)^{2}}}$

Es ist wie be-über-schrieben nur ein erster Versuch und nicht zwingend richtig. Benutzung auf eigene Gefahr.
Vom LVA-Leiter akzeptiert. Crispy 19:18, 9. Jun. 2010 (CEST)

Falls jemand sachdienliche Hinweise hat, bitte hier einarbeiten und/oder mir mitteilen... Crispy 23:13, 7. Jun. 2010 (CEST)