TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 322

Man bestimme die erzeugende Funktion der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}:a_n=n+n{3}^n$

Lösungsvorschlag

crispy's Versuch

Grundlegend bildet man die erzeugende Funktion mit einer unendliche Reihe

$X(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\ast z^n$

Das ist bei uns:

$\begin{array}{cc}X(z)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+n{3}^n)\ast z^n\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n\ast z^n+n{3}^n\ast z^n\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n\ast z^n+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{3}^n\ast z^n\end{array}$

Wendet man die Rechenregeln für erzeugende Funktionen an (Buch S. 277f):

Folge	erzeugende Funktion	Bemerkung
1,1,1,...	$1+z+z^2+z^3+\dots =\frac{1}{1-z}$
0,1,2,3,...	$A(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{z}^n=z+2z^2+3z^3+\mathrm{...}=z\left(\frac{1}{1-z}\right)=\frac{z}{(1-z{)}^2}$	arithmetische Reihe
$1,q,q^2,q^3$...	$A(z)=1+qz+q^2{z}^2+q^3{z}^3+\mathrm{...}=\frac{1}{1-qz}$	geometrische Reihe
${\gamma }^n{a}_n$	$A(\gamma z)$
...

so erhält man für den Teil $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n\ast z^n:\frac{z}{(1-z{)}^2}\text{ und f}\ddot{\text{u}}\text{r }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{3}^n\ast z^n:A(3z)=\frac{3z}{(1-3z{)}^2}$ und das ist ausgeschrieben:

$X(z)=\frac{z}{(1-z{)}^2}+\frac{3z}{(1-3z{)}^2}$

Es ist wie be-über-schrieben nur ein erster Versuch und nicht zwingend richtig. Benutzung auf eigene Gefahr.
Vom LVA-Leiter akzeptiert. Crispy 19:18, 9. Jun. 2010 (CEST)

Falls jemand sachdienliche Hinweise hat, bitte hier einarbeiten und/oder mir mitteilen... Crispy 23:13, 7. Jun. 2010 (CEST)