TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 262

Man berechne:

$\int _{0}^{1}{\frac {xdx}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösung

Das unbestimmte Integral berechnen:

$\int {\frac {x\cdot dx}{\sqrt {1+x^{2}}}}=\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\cdot x\,dx$

Wir substituieren

$u=1+x^{2}\,$ und berechnen $u'=2x\,$

$du=u'\,dx=2x\,dx$

${\frac {1}{2}}du=x\,dx$

Substitutiert:

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{\sqrt {u}}}\cdot {\frac {1}{2}}du&={\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{\sqrt {u}}}\,du\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2\cdot {\sqrt {u}}+c\\&={\sqrt {u}}+c\\&={\sqrt {1+x^{2}}}+c\end{aligned}}$

Grenzen einsetzen:

${\sqrt {1+x^{2}}}\vert _{0}^{1}={\sqrt {1+1^{2}}}-{\sqrt {1+0^{2}}}={\sqrt {2}}-1$

Links

• Dieses Integral auf Wolfram Alpha