TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 252

Man berechne:

$\int {\frac {dx}{\sin x}}$

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Lösungsvorschlag

Betrachten wir ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem Winkel ${\tfrac {x}{2}}$, der Ankathete $1$ und der Gegenkathete $u$.

Dabei ergibt sich folgendes:

$\sin {\tfrac {x}{2}}={\frac {u}{\sqrt {1+u^{2}}}}$

$\cos {\tfrac {x}{2}}={\frac {1}{\sqrt {1+u^{2}}}}$

$\tan {\tfrac {x}{2}}={\frac {u}{1}}$

Wir substituieren also $u=\tan {\tfrac {x}{2}}$.

(Anmerkung von koDiacc (da ich persönlich ewig gebraucht habe, um diesen Teil nachzuvollziehen: http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Gegenseitige_Darstellung dort wird erklärt wie man den sin anhand von tangens ausdrücken kann. da wir aber sin x/2 haben muss ich eben tan x auch durch tan x/2 aufschreiben. dieses tan x/2 ersetze ich dann durch u))

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Das Additionstheorem für die Sinusfunktion besagt folgendes:

$\sin {(\alpha +\beta )}=\sin {\alpha }\cdot \cos {\beta }+\sin {\beta }\cdot \cos {\alpha }$

In unserem Fall:

$\sin {x}=\sin {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{2}}=2\cdot {\frac {u}{1+u^{2}}}$

Abgeleitet

${\frac {du}{dx}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{(\cos {\frac {x}{2}})^{2}}}={\frac {1}{2\cdot (\cos {\frac {x}{2}})^{2}}}$

$du={\frac {1}{2\cdot (\cos {\frac {x}{2}})^{2}}}\cdot dx$

$dx=2\cdot (cos{\frac {x}{2}})^{2}\cdot du=2\cdot {\frac {1}{\sqrt {1+u^{2}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1+u^{2}}}}\cdot du=2\cdot {\frac {1}{1+u^{2}}}\cdot du$

(2. Anm. v. koDiacc: (tan x)' = 1/cos^2 x d.h. tan x/2 muss ich das x/2 substituieren und dann kettenregel somit steht dann 1/2 davor)

Nun können wir das Integral folgendermaßen anschreiben:

$\int {\frac {1+u^{2}}{2\cdot u}}\cdot 2\cdot {\frac {1}{1+u^{2}}}\cdot du=\int {\frac {1}{u}}\cdot du=\ln {|u|}+C$

Rücksubstituieren:

$\int {\frac {dx}{\sin {x}}}=\ln {|\tan {\frac {x}{2}}|}+C$

Quelle

SS07 Beispiel 51