TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 271

Untersuchen Sie folgendes uneigentliches Integral auf Konvergenz.

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {|\sin {x}|}{x^{2}}}\,dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Me.Name

Dieses Integral ist sowohl an der Untergrenze (0) als auch an der Obergrenze($\infty$) uneigentlich, deshalb muss eine Aufteilung gemacht werden.

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {|\sin {x}|}{x^{2}}}\,dx=\int \limits _{A}^{1}{\frac {|\sin {x}|}{x^{2}}}\,dx+\int \limits _{1}^{B}{\frac {|\sin {x}|}{x^{2}}}\,dx$

Weiters gilt: ${\frac {\sin {x}}{x^{2}}}\leq {\frac {1}{x^{2}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {x}}}$

________________________________________

Linker Teil:

Für den Linken Teil verwenden wir die Majorante ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ da wir nicht wollen das am Schluss A=0 unter dem Bruchstich landet.

$\lim \limits _{A\to 0}\int \limits _{A}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}=2*{\sqrt {x}}|_{A}^{1}=2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {0}}=2-0=2$

________________________________________

Rechter Teil:

Für den rechten Teil verwenden wir die Majorante ${\frac {1}{x^{2}}}$ hier wollen wir ja das B=$\infty$ unter den Bruchstrich gelangt.

$\lim \limits _{B\to \infty }\int \limits _{1}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}dx=-{\frac {1}{x}}|_{1}^{B}=-{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{1}}=-0+1=1$

________________________________________

zusammensetzen:

So jetzt beide zusammensetzen:

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {|\sin {x}|}{x^{2}}}\,dx=\lim \limits _{A\to 0}\int \limits _{A}^{1}{\frac {|\sin {x}|}{x^{2}}}\,dx+\lim \limits _{B\to \infty }\int \limits _{1}^{B}{\frac {|\sin {x}|}{x^{2}}}\,dx=2+1=3$

=> konvergent