TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 309

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

1. (a) $z=xy$
2. (b) $z={\frac {x}{y}}$

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Lösung

lt. Prof Urbanek

Allgemein:

• $f(x,y):D\rightarrow W$
• Definitionsbereich $D$ in $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {R} ^{2}$, da 2 Variablen x und y vorliegen
• Wertebereich $W$ für Variable $z$ ist $\mathbb {R}$

a) $D=\mathbb {R} ^{2},W=\mathbb {R}$

Höhenlinie h oder z als beliebige Konstante angenommen, ergibt $h=xy$ oder $y={\frac {h}{x}}$

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel, wobei die Werte von x und y gegen 0 bzw. unendlich konvergieren. Die Konstante h legt lediglich den Scheitel der Hyperbel fest.

b) $D=\mathbb {R} ^{2}\backslash \{y\neq 0\},W=\mathbb {R}$ sollte hier nicht ohne y = 0 sein?

Höhenlinie h oder z als beliebige Konstante angenommen, ergibt $h={\frac {x}{y}}$ oder $y={\frac {x}{h}}$

Dies ist die Gleichung einer Geraden, h bestimmt lediglich die Steigung

Anmerkung

Bei der Übung wird auch eine Skizze von den jeweiligen Höhenlinien verlangt.

Links

• Siehe auch Diskussion im Informatik Forum Beispiel 64.
• z = xy visualisiert auf Wolfram Alpha
• z = x/y visualisiert auf Wolfram Alpha