TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 321
Man untersuche die Funktion auf Stetigkeit. (Hinweis: für ):
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Definition den Grenzwertes einer Funktion mit mehreren Variablen
Lösungsvorschlag von Drunken Monkey[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ich habe den Limes t gegen 0 für f(at,bt) gebildet und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
Demnach ist Funktion stetig über ganz .
- Anmerkung: Laut Prof. Länger ist diese Lösung zwar richtig, aber nur für den Spezialfall, dass man sich dem Punkt (0,0) linear nähert. - -wolf-gang 21:00, 28. Apr 2008 (CEST)
Lösungsvorschlag von Wolf-gang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Lösung laut Prof. Länger (ohne Benutzung des Hinweises in der Angabe!)
Wie bereits bei Drunken Monkeys Lösung angemerkt muss man bedenken, dass sich x und y unabhängig voneinander an (0,0) annähern können. Beispielsweise auf einer Geraden (wie oben), auf einer Spirale, ... Um also die allgemeine Annäherung von x und y an (0,0) zu beschreiben betrachtet man das Verhalten des Funktionswerts f(x,y) in einer kleinen Umgebung von (0,0) in Abhängikeit von x und y. Sei die Behauptung:
Beweis:
Fall 1:
Fall 2 (analog):
Fall 3:
Damit ist gezeigt, dass in jedem Fall f(x,y) in einer -Umgebung liegt, sich dem Wert 0 nähert und die Funktion somit stetig ist. Fall 1 und 2 können natürlich auch in Kombination auftreten, wenn