TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 320

In welchen Punkten (x, y) ∈ R2 ist die Funktion (ich hoffe, man kann die ascii-art Klammer ({) erkennen, Anm.) r xy² | ---------- für (x,y) != (0,0) f(x, y) = < x² + y^4 | L 0 für (x,y) = (0,0)

stetig?

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Lösung, 1ter Versuch

Die Lösung, die uns Übungsleiter G. Seitz heute (27.4.2010) präsentiert hat, sinngemäß wiedergegeben von crispy:

Stetig ist eine Funktion in einem Punkt dann, wenn der Funktionswert an dieser Stelle gleich den Grenzwerten jeder Folge von Funktionswerten ist, die an diese Stelle führen, also:

f(x0,y0) =      lim      f(x,y)
           (x,y)->(x0,y0)

Für den ersten Teil der Funktionsdefinition kann man argumentieren, dass für alle (x0,y0) != (0,0) der Limes der einzelnen Ausdrücke von x und y gegen ihre equivalente von x0 und y0 gehen

    wird:     x0        y0²
                \      /
                 x * y²
     lim       ----------
(x,y)->(x0,y0)  x² + y^4
               / ------ \
            x0²    |    y0^4
                  !=0

und dass der Nenner immer != 0 ist, der Limes folglich immer existiert und gleich dem Funktionswert ist. Somit wäre die Stetigkeit für alle Punkte außer den Ursprung gezeigt.

Um die Unstetigkeit in einem Punkt (x0,y0) zu beweisen, muss man zeigen, dass es eine Folge von Punkten (xn, yn) mit Grenzwert (x0,y0) gibt, sodass eine Folge F(xn,yn) (die Funktion entlang dieser Punkte ausgewertet) einen Grenzwert ungleich F(x0,y0) hat. Geometrisch gesprochen nähern wir uns dem Punkt auf irgendeine Weise an, sodass auf dieser Bahn der Grenzwert ungleich dem Funktionswert ist.

Dieses Beispiel zeigt, dass es dazu nicht reicht, gerade Bahnen zu untersuchen.
(es gilt

lim  F(a*t, b*t) = 0   | für alle a,b aus R
t->0

)

Leider wusste Herr Seitz auch kein allgemeingültiges Rezept, wie man zu so einer Folge kommt. Man muss sozusagen geschickt raten können.
Wenn man sich die Funktion ansieht, dann stellt man fest, dass y immer in einer doppelt so hohen Potenz vorkommt wie x. wenn man nun für x ein a² und für y a einsetzt (geometrisch: wir nähern uns entlang einer Parabel an), erhält man:

                (a²) * (a)²          a^4
lim  F(a²,a) = ------------- = lim  ------ = 1/2
a->0           (a²)² + (a)^4   a->0 2* a^4

Und da 1/2 nun mal != 0 ist: Gotcha!

Lösung für die ursprüngliche Frage ist also R\(0,0).