TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 347

In welcher Richtung erfolgt die maximale Änderung von
$f(x,y,z)=x^{2}\cdot \sin(yz)-y^{2}\cdot \cos(yz)$
vom Punkt $P(4,{\frac {\pi }{4}},2)$ aus und wie groß ist sie
annähernd?

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Wissenswertes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Aus dem orangenen Buch S240(4.Auflage S256) Satz 6.27)

Seien D, f und x wie in Satz 6.25, dann ist die Richtung des größten Anstiegs genau die Richtung des Gradienten grad f. Der Wert des größten anstiegs ist ||grad f||. Im Fall grad f = 0 sind alle Richtungsableitungen 0.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$f_{x}=2x\sin(yz)$

$f_{y}=x^{2}z\cos(yz)-2y\cos(yz)+y^{2}z\sin(yz)$

$f_{z}=x^{2}y\cos(yz)+y^{3}\sin(yz)$

$\operatorname {grad} f={\begin{pmatrix}f_{x}\\f_{y}\\f_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\{\frac {\pi ^{2}}{8}}\\{\frac {\pi ^{3}}{64}}\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}{\begin{Vmatrix}\operatorname {grad} f\end{Vmatrix}}&={\sqrt {8^{2}+\left({\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi ^{3}}{64}}\right)^{2}}}\\&={\sqrt {\left({\frac {8^{2}\cdot 8}{8^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {8\cdot \pi ^{2}}{8^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi ^{3}}{8^{2}}}\right)^{2}}}\\&={\frac {\sqrt {8^{6}+8^{2}\cdot \pi ^{4}+\pi ^{6}}}{8^{2}}}\approx 8.109\end{aligned}}$