TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 380

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im angegebenen Bereich:

$f(x,y)=\sin (x+y)+\sin x+\sin y$ für $0\le x,y\le \pi /2$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von lumpi

Partielle Ableitungen

$f_x=\cos (x+y)+\cos x$

$f_y=\cos (x+y)+\cos y$

Mögliche Extrema/Sattelpunkte Zum Errechnen von möglichen Extrema, setzen wir $f_x$ und $f_y$ gleich 0.

$f_x=\cos (x+y)+\cos x=0$

$\cos (x+y)=-\cos x$

$f_y=\cos (x+y)+\cos y=0$

$\cos (x+y)=-\cos y$

$\to \cos x=\cos y\to x=y$

$\cos (2x)+\cos x=0$

$\cos (2x)$ ist ein Doppelwinkelsatz also $\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$

das zweite was man wissen muss ist, dass ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$, also ${\sin }^2(x)=1-{\cos }^2(x)$

$\cos (2x)+\cos x=0$

${\cos }^2(x)-(1-{\cos }^2(x))+\cos x=0$

$2\ast {\cos }^2(x)+\cos x-1=0$

große Lösungsformel einer quadratischen Gleichung.. (nicht auf Substitution $u=\cos x$ vergessen!)

Somit erhalte ich die Lösungen

$u_1=-1,u_2=1/2$

und jetzt noch für die endgültige Lösung resubstituieren

$x_1=(\pi ),x_2=(\pi )/3$

Nur $x_2$ liegt im angegebenen Bereich, das ist die gesuchte Stelle!

Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Nun errechnen wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung für die Hessematrix:

$f_{xx}=-\sin (x+y)-\sin x=-\sin (2\frac{\pi }{3})-\sin (\frac{\pi }{3})=-\sqrt{3}$

$f_{xy}=f_{yx}=-\sin (x+y)=-\sin (2\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$f_{yy}=-\sin (x+y)-\sin y=-\sin (2\frac{\pi }{3})-\sin (\frac{\pi }{3})=-\sqrt{3}$

Hessematrix

$\begin{array}{cc}{H}_f=& \left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-\sqrt{3}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\sqrt{3}\end{array}\right|\\ =& (-\sqrt{3}{)}^2-(-\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2=3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\end{array}$

$H_f>0$

$f_{x}x<0$

$⟹(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3})$ ist ein relatives Maximum

Links

Siehe Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 128

Cosinus anschaulich dargestellt (nur halt nicht in rad): cosinus animiert

• Ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 129
  • TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 130