B sei das durch die Punkte (0, 0), (1, 1), (1,−2) und (4, 3) festgelegte konvexe Viereck.
Berechnen Sie
Man Teile den Bereich an der Geraden x = 1 in 2 Teile.
Das Integral über die X-Achse ist einfach - der Bereich geht von 0 bis 4 (bzw. von 0 bis 1 und 1 bis 4
Für die Y-Achse müssen wir Funktionen finden, die jedem x-Wert die passenden Grenzen zuordnen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=x\\\varphi (x)&=-2x\\\psi '(x)&={\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{3}}\\\varphi '(x)&={\frac {5}{3}}x-{\frac {11}{3}}\end{aligned}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b270db2748ab9b73f2a443a53e54c246&mode=mathml)
Unsere Geraden sind gegeben durch 2 Punkte:
. die Steigung k der Gerade erhält man, indem man die Differenz in Y-Richtung durch die Differenz in X-Richtung dividiert:
.
Danach einfach einen gegebenen Punkt in die allgemeine Geradengleichung y = kx+d einsetzen, um d zu erhalten:
Unser Integral sieht dann so aus:
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{\varphi (x)}^{\psi (x)}xy-x^{2}+y^{2}\,dy\,dx+\int _{1}^{4}\int _{\varphi '(x)}^{\psi '(x)}xy-x^{2}+y^{2}\,dy\,dx=?}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2cdcc77edda9bfa6ed4ef857cf5c8438&mode=mathml)
Dann mal los (ein Teil nach dem anderen, von innen nach außen)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{\varphi (x)}^{\psi (x)}xy-x^{2}+y^{2}\,dy\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cbf871365cea667998f03cd22106db33&mode=mathml) |
(nach y integrieren, x ist hier konstant)
|
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {xy^{2}}{2}}-x^{2}y+{\frac {y^{3}}{3}}|_{\varphi (x)}^{\psi (x)}\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cb1e8ce393a2685a64374e9f09288107&mode=mathml) |
(Grenzen einsetzen)
|
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {xy^{2}}{2}}-x^{2}y+{\frac {y^{3}}{3}}|_{-2x}^{x}\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4da9ee3d31bb032373ac41555e0e42ab&mode=mathml) |
(auswerten...)
|
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{3}}{2}}-x^{3}+{\frac {x^{3}}{3}}-({\frac {x(-2x)^{2}}{2}}-x^{2}(-2x)+{\frac {(-2x)^{3}}{3}})\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=086f281ecc4ef2e50b1093fa37c44a10&mode=mathml) |
(ausmultiplizieren)
|
![{\displaystyle \int _{0}^{1}-{\frac {x^{3}}{6}}-2x^{3}-2x^{3}+{\frac {8x^{3}}{3}})\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9846e1d96169b8a918576bdc456be842&mode=mathml) |
(vereinfachen)
|
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {-x^{3}-12x^{3}-12x^{3}+16x^{3}}{6}}\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=37fce15b720d682eb795cd077aa968c2&mode=mathml) |
(vereinfachen)
|
![{\displaystyle \int _{0}^{1}-{\frac {3}{2}}x^{3}\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=78be8f40bab27cc90f3228d31f827757&mode=mathml) |
(konstante herausziehen, integrieren)
|
![{\displaystyle -{\frac {3}{2}}*{\frac {x^{4}}{4}}|_{0}^{1}=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a76691dfad46809512de92703e2bac26&mode=mathml) |
|
![{\displaystyle -{\frac {3}{2}}*{\frac {1}{4}}={\underline {-{\frac {3}{8}}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7377b1e241ec054d50969c6087481e6b&mode=mathml) |
|
Der zweite Teil verläuft analog:
![{\displaystyle \int _{1}^{4}\int _{\varphi '(x)}^{\psi '(x)}xy-x^{2}+y^{2}\,dy\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=155a738b9fab1f4f2de5b053ae808162&mode=mathml) |
(nach y integrieren, x ist hier konstant)
|
![{\displaystyle \int _{1}^{4}{\frac {xy^{2}}{2}}-x^{2}y+{\frac {y^{3}}{3}}|_{\varphi '(x)}^{\psi '(x)}\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f43295b1fc0e4a8e944ce3b618d456f6&mode=mathml) |
(Grenzen einsetzen)
|
![{\displaystyle \int _{1}^{4}{\frac {xy^{2}}{2}}-x^{2}y+{\frac {y^{3}}{3}}|_{{\frac {5}{3}}x-{\frac {11}{3}}}^{{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{3}}}\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7babe78ffb2fe1cbdb67f83a3791f601&mode=mathml) |
(auswerten)
|
![{\displaystyle \int _{1}^{4}{\frac {x({\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{3}})^{2}}{2}}-x^{2}({\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{3}})+{\frac {({\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{3}})^{3}}{3}}-({\frac {x({\frac {5}{3}}x-{\frac {11}{3}})^{2}}{2}}-x^{2}({\frac {5}{3}}x-{\frac {11}{3}})+{\frac {({\frac {5}{3}}x-{\frac {11}{3}})^{3}}{3}})\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1507f5891ff59151ef5d57c5f87dc633&mode=mathml) |
(ausmultiplizieren)
|
![{\displaystyle \int _{1}^{4}{\frac {2}{9}}x^{3}+{\frac {2}{9}}x^{2}+{\frac {1}{18}}x-{\frac {2}{3}}x^{3}-{\frac {1}{3}}x^{2}+{\frac {8}{81}}x^{3}+{\frac {4}{27}}x^{2}+{\frac {2}{27}}x+{\frac {1}{81}}-{\frac {25}{18}}x^{3}+{\frac {55}{9}}x^{2}-{\frac {121}{18}}x+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {11}{3}}x^{2}-{\frac {125}{81}}x^{3}-{\frac {605}{27}}x+{\frac {1331}{81}}\,dx=}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9128c2d5021c80180a95032bd9f8bc91&mode=mathml) |
|
Ich höre an dieser Stelle auf, weil die Wahrscheinlichkeit eines Rechen- oder Tippfehlers hier gegen 1 geht... (P(Fehler) --> 1)
Es geht genau so weiter wie oben auch...
Wolfram Alpha kommt auf folgendes Ergebnis (für den 2ten Teil):
![{\displaystyle \int _{1}^{4}{\frac {148}{9}}-29x+{\frac {38x^{2}}{3}}-{\frac {29x^{3}}{18}}\,dx={\frac {-39}{8}}\approx -4,875...}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=534b8f51ca4735d4a332a9b619eae553&mode=mathml)