TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 239

Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld ${\vec {u}}({\vec {x}})={\begin{pmatrix}xy^{2}\\x^{2}-y\end{pmatrix}}$ entlang des Weges $3y^{2}=4x$ von (0,0) nach (3,2) und entlang des Streckenzuges (0,0) --> (3,0) --> (3,2)

Lösungsvorschlag

von ichchefdunix

- Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld

Kommentar

Gleich am Anfang wird aus ((3/4)*t^2)^2 ein (3/4)*t^4

Sollte dort nicht (9/16)*t^4 stehn? [1]

Mein Lösung entspricht dann 13,2

Edit[Nudel]: 13.6 ist es laut wolfram.

Lösungsvorschlag von vitamin

Allgemein gilt (s. Buch p.260, Def. 6.57): $\int _{\vec {c}}{\vec {f}}({\vec {x}})\cdot d{\vec {x}}=\int _{a}^{b}{\vec {f}}({\vec {c}}\,(t))\cdot {\vec {c}}\,'(t)\cdot dt$

• Kurve parametrisieren

${\begin{alignedat}{2}&3y^{2}=4x&\\&y=t&\\&{\frac {3t^{2}}{4}}=x&\Rightarrow {\vec {c}}(t)={\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}t^{2}\\t\end{pmatrix}},t\in [0,2]&\\&{\vec {c}}\,'(t)={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}t\\1\end{pmatrix}}&\\\end{alignedat}}$

• in die Formel einsetzen und berechnen

${\begin{aligned}\int _{\vec {c}}{\vec {f}}({\vec {x}})\cdot d{\vec {x}}&=\int _{\vec {c}}(x\cdot y^{2}\cdot dx+(x^{2}-y)\cdot dy)\\&=\int _{0}^{2}({\frac {3}{4}}t^{2}\cdot t^{2}\cdot {\frac {3}{2}}t+{\frac {9}{16}}t^{4}-t)\cdot dt\\&={\frac {9}{8}}\int _{0}^{2}t^{5}\cdot dt+{\frac {9}{16}}\int _{0}^{2}t^{4}\cdot dt-\int _{0}^{2}t\cdot dt\\&=\left({\frac {9}{8}}\cdot {\frac {t^{6}}{6}}+{\frac {9}{16}}\cdot {\frac {t^{5}}{5}}-{\frac {t^{2}}{2}}\right)|_{0}^{2}\\&={\frac {68}{5}}\\&=13{,}6\end{aligned}}$

Vitamin 17:26, 13. Jun. 2010 (CEST)