Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral ∫C(cosxdx+e−ydy+z2dz){\displaystyle \int _{C}(\cos x\;dx+e^{-y}\;dy+z^{2}\;dz)} wegunabhängig ist, und berechnen Sie es über einen Weg von (−1, 3, 4) nach (6, 9, −2).
Integrabilitätsbedingungen prüfen:
∂f1∂y=∂f2∂x=0{\displaystyle {\frac {\partial f1}{\partial y}}={\frac {\partial f2}{\partial x}}=0}
∂f2∂z=∂f3∂y=0{\displaystyle {\frac {\partial f2}{\partial z}}={\frac {\partial f3}{\partial y}}=0}
∂f1∂z=∂f3∂x=0{\displaystyle {\frac {\partial f1}{\partial z}}={\frac {\partial f3}{\partial x}}=0}
Stammfunktion F(x,y,z){\displaystyle F\;(x,y,z)} bestimmen:
f(x,y,z)=(cosxe−yz2)=(FxFyFz){\displaystyle f\;(x,y,z)={\begin{pmatrix}\cos x\\\mathrm {e} ^{-y}\\z^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}}
F(x,y,z)=∫cosxdx=sinx+c(y,z){\displaystyle F\;(x,y,z)=\int \cos x\;\mathrm {d} x=\sin x+c\;(y,z)}
Fy=e−y=c′(y,z){\displaystyle F_{y}=\mathrm {e} ^{-y}=c\;^{\prime }(y,z)}
c(y,z)=∫e−ydy=−e−y+c1(z){\displaystyle c\;(y,z)=\int \mathrm {e} ^{-y}\;\mathrm {d} y=-\mathrm {e} ^{-y}+c_{1}\;(z)}
F(x,y,z)=sinx−e−y+c1(z){\displaystyle F\;(x,y,z)=\sin x-\mathrm {e} ^{-y}+c_{1}\;(z)}
Fz=z2=c1′(z){\displaystyle F_{z}=z^{2}=c_{1}\;^{\prime }(z)}
c1(z)=∫z2dz=z33+c2{\displaystyle c_{1}\;(z)=\int z^{2}\;\mathrm {d} z={\frac {z^{3}}{3}}+c_{2}}
F(x,y,z)=sinx−e−y+z33+c2{\displaystyle F\;(x,y,z)=\sin x-\mathrm {e} ^{-y}+{\frac {z^{3}}{3}}+c_{2}}
Über den Weg von (−134){\displaystyle {\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}}} nach (69−2){\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\9\\-2\end{pmatrix}}} berechnen:
F(b)−F(a){\displaystyle F(b)-F(a)}
sin(6)−e−9+(−2)33−(sin(−1)−e−3+433)=−23,3883{\displaystyle \sin(6)-\mathrm {e} ^{-9}+{\frac {(-2)^{3}}{3}}-(\sin(-1)-\mathrm {e} ^{-3}+{\frac {4^{3}}{3}})=-23,3883}
Ähnliche Beispiele:
Wikipedia:
wegunabhängig ist, und berechnen Sie es über einen Weg von (−1, 3, 4) nach (6, 9, −2).
bestimmen:
nach 
berechnen:
