TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 212

Berechnen sie $\int _{1}^{2}x^{2}\,dx$ mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Teilung.

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Hilfreiches

Definition Obersumme:

$O_{Z}(f)=\sum _{i=1}^{n}{\underset {x\in [x_{i}-1,x_{i}]}{\operatorname {max} }}f(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})$

Lösungsvorschlag

Man stellt fest, das die $x^{2}$ im Intervall [1,2] streng monoton steigend ist. Darauf folgt, dass ${\underset {x\in [x_{i}-1,x_{i}]}{\operatorname {max} }}f(x)=f(x_{i})$

Außerdem ist $(x_{i}-x_{i-1})=\Delta x$ bei äquidistanter immer gleich groß.

Daraus folgt wiederum, dass $n={\frac {1}{x_{i}-x_{i-1}}}\Rightarrow \Delta x={\frac {1}{n}}$

mit dem Wissen, kann man die Formel schon etwas umschreiben:

$O_{Z}(f)=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\cdot {\frac {1}{n}}$

$x_{i}$ kann man ebenfalls anders darstellen: $x_{i}=x_{0}+i\cdot \Delta x=x_{0}+{\frac {i}{n}}$

$x_{0}$ ist in unserem Fall 1

Das setzt man dann in f(x) ein:

$f(x_{i})=f(1+{\frac {i}{n}})=(1+{\frac {i}{n}})^{2}=1+2{\frac {i}{n}}+{\frac {i^{2}}{n^{2}}}$

$O_{Z}(f)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(1+2{\frac {i}{n}}+{\frac {i^{2}}{n^{2}}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}2{\frac {i}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {i^{2}}{n^{2}}}$
$O_{Z}(f)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1+{\frac {2}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}i+{\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}$

nun sollte man folgende Summen kennen:

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}1&=n\\\sum _{i=1}^{n}i&={\frac {n(n+1)}{2}}\\\sum _{i=1}^{n}i^{2}&={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\\\end{aligned}}$

damit ergibt sich folgende Formel

$O_{Z}(f)={\frac {1}{n}}n+{\frac {2}{n^{2}}}{\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {1}{n^{3}}}{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}=1+{\frac {(n+1)}{n}}+{\frac {(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}}={\frac {14n^{2}+9n+1}{6n^{2}}}$

Und das Integral kann man nun bilden, indem man von den Obersummen den Grenzwert bildet:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {14n^{2}+9n+1}{6n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {14+{\frac {9}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}}{6}}={\frac {7}{3}}$