TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 163
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Stellen Sie eine Rekursion für die gesuchten Zahlen auf und lösen Sie diese:
- sei die größte Anzahl von Teilen, in die eine Kugel durch n Großkreise zerlegt werden kann. (Ein Großkreis ist ein Kreis auf der Kugel, dessen Mittelpunkt gleich dem Kugelmittelpunkt ist.)
Lösungsvorschlag von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Parameter der gesuchten Lösung können hier nur empirisch gefunden werden.
- Ein Großkreis schneidet alle vorher eingeschriebenen Großkreise, falls er nicht ein identischer ist.
- Um die Anzahl der Kugelfraktionen maximal zu machen, darf der neue Großkreis keine Schnittpunkte der vorherigen Teilungen beinhalten.
- (Wie in der Empirik üblich, gibt es dazu keine (mathematischen) Beweise; nehmt eine Orange und spannt experimentelle Gummiringe drum 'rum :))
Jeder neu eingeschriebene, non-prä-idente Großkreis teilt also die schon existierenden Kugelfragmente in zwei Teile. Das passiert jeweils sowohl auf der Kugelvorder- und Kugel-Rückseite:
---
Damit können wir arbeiten:
,
also ist:
Mit der Summenformel für arithm. Reihen ergibt sich:
Kürzen:
--Baccus 00:58, 7. Jun 2007 (CEST)
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