TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 215

Sei $a\ge 0$. Berechnen Sie $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^{a+1}}\sum _{k=1}^n{k}^a$

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag von puppenhaus

Hinweis: a mit g in der Angabe ersetzt zwecks Übersicht.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^{g+1}}\sum _{k=1}^n{k}^g$

Riemannsches Integral als Summe:

$\Delta x=\frac{b-a}{n}$

${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\Delta x\sum _{k=1}^{n}f(a+k\cdot \Delta x)$

In unserer Angabe ist das a (hier das g) irgendeine Zahl $\ge 0$!

Aus der Angabe heraus ergibt sich: a = 0, b = 1 (sind praktische Grenzen zum berechnen)

Einsetzen ergibt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^{g+1}}\sum _{k=1}^n{k}^g$

Es muss also gelten: $f\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{k^g}{n^g}$

wir haben beim rechten Ausdruck noch 1/n stehen, wenn wir das rüber bringen: $\frac{1}{\frac{n^{g+1}}{n}}=\frac{1}{n^g}$

--> f(x) = x^g In das Integral, Grenzen einsetzen:

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_0^1{x}^{g}dx=\frac{x^{g+1}}{g+1}{|}_0^1=\frac{1}{g+1}$

Anmerkungen

ge-TeX-ed von f.post:640533

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