Man bestimme die erzeugende Funktion der Folge
Grundlegend bildet man die erzeugende Funktion mit einer unendliche Reihe
![{\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}*z^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6278210fa1139adee32a9e6a0fd2f857&mode=mathml)
Das ist bei uns:
![{\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }(n+n3^{n})*z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n*z^{n}+n3^{n}*z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n*z^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }n3^{n}*z^{n}\end{aligned}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4e97a3947ede8535ba16f8375cd608da&mode=mathml)
Wendet man die Rechenregeln für erzeugende Funktionen an (Buch S. 277f):
Folge |
erzeugende Funktion |
Bemerkung
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1,1,1,... |
![{\displaystyle 1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots ={\frac {1}{1-z}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8bf94a2c41b25230de1f5e5602c47db2&mode=mathml) |
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0,1,2,3,... |
![{\displaystyle A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}=z+2z^{2}+3z^{3}+...=z\left({\frac {1}{1-z}}\right)'={\frac {z}{(1-z)^{2}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b920134dd4291220ab87b1c5b8234789&mode=mathml) |
arithmetische Reihe
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... |
![{\displaystyle A(z)=1+qz+q^{2}z^{2}+q^{3}z^{3}+...={\frac {1}{1-qz}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=27497ff656cf40d9660322da76d7cb1e&mode=mathml) |
geometrische Reihe
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![{\displaystyle \gamma ^{n}a_{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9d6563b0135528c7365d8695854aedc3&mode=mathml) |
![{\displaystyle A(\gamma z)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e20319b2e435be95db76f3f14913ad42&mode=mathml) |
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...
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so erhält man für den Teil
und das ist ausgeschrieben:
![{\displaystyle X(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}+{\frac {3z}{(1-3z)^{2}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=27c471d2fec7a0c53f550f9657680bc6&mode=mathml)
Es ist wie be-über-schrieben nur ein erster Versuch und nicht zwingend richtig. Benutzung auf eigene Gefahr.
Vom LVA-Leiter akzeptiert. Crispy 19:18, 9. Jun. 2010 (CEST)
Falls jemand sachdienliche Hinweise hat, bitte hier einarbeiten und/oder mir mitteilen...
Crispy 23:13, 7. Jun. 2010 (CEST)