TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 254

Man berechne:

${\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}si{n}^2(x)+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$

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Hilfreiches

Partielle Integration

Partielle Integration

$\int udv=uv-\int vdu$ alias $\int u(x)v^{\prime }(x)=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)$

Lösungsvorschlag

Es gilt:

${\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}si{n}^2(x)+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx={\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}si{n}^2(x)dx+{\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$

Das erste Integral lässt sich durch Umformung und Gleichsetzung lösen:

${\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}si{n}^2(x)dx={\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}1-co{s}^2(x)dx={\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}1dx-{\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}cos(x)cos(x)dx$

Mittels partieller Integration erhalten wir:

$\frac{2\pi }{3}-cos(x)sin(x)-{\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}si{n}^2(x)dx$

Daraus folgt:

${\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}si{n}^2(x)dx=\frac{1}{2}(\frac{2\pi }{3}-cos(x)sin(x))$

${\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}si{n}^2(x)dx=\frac{\pi }{3}-\frac{1}{2}cos(x)sin(x)=\frac{\pi }{3}-(\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}-0)=\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{8}$

Das zweite Integral lässt sich durch Substitution lösen, $u=1+x^2$, $dx=\frac{1}{2x}du$:

${\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{u}}\frac{x}{2x}du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du=\frac{2\sqrt{u}}{2}=\sqrt{u}=\sqrt{1+x^2}=$

$\sqrt{1+\frac{4{\pi }^2}{9}}-\sqrt{1}=\frac{\sqrt{9+4{\pi }^2}}{3}-1$

Zusammengefasst:

${\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}si{n}^2(x)+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{9+4{\pi }^2}}{3}-1$