TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 255

Man berechne das bestimmte Integral:

${\int }_0^{1}x\arccos xdx$

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Anmerkung SS11: In der Angabe war ein Fehler. Das Integral hätte von 0 bis $\frac{\pi }{2}$ berechnet werden sollen, was aber in dem Fall nicht funktioniert!

Hilfreiches

$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Lösungsvorschlag

Die Grenzen lasse ich anfangs weg, um bei etwagigen Substitutionen die Grenzen nicht mitersezten zu müssen.

als erstes durch partielle Integration:

${\int }_0^{1}x\arccos xdx=\frac{x^2}{2}\arccos x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Nun widmet man sich dem neuen Integral:

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int \frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx-\int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}dx$

an der Stelle sollte man erkennen, dass das 2. Integral dem arccos x entspricht:

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx-\arccos x$

Weiter geht es mit dem noch verbliebenen Integral:

$-\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int \sqrt{\frac{(1-x^2{)}^2}{1-x^2}}dx=-\int \sqrt{(1-x^2)}dx=-\int 1\cdot \sqrt{(1-x^2)}dx$

Hier wendet man wieder die partielle Integration an:

$\int 1\cdot \sqrt{(1-x^2)}dx=-x\cdot \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\int 2x^2(1-x^2{)}^{-1/2}dx=-x\cdot \sqrt{1-x^2}-\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$

das setzt man wieder zurück ein:

$\begin{array}{cc}\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx& =-\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx-\arccos x\\ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx& =-x\cdot \sqrt{1-x^2}-\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx-\arccos x\\ 2\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx& =-x\cdot \sqrt{1-x^2}-\arccos x\\ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx& =-\frac{1}{2}x\cdot \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\arccos x\\ \end{array}$

Damit kann man nun in das ursprüngliche Integral einsetzen:

$\begin{array}{cc}\int x\arccos xdx& =\frac{x^2}{2}\arccos x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{x^2}{2}\arccos x+\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}x\cdot \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\arccos x)\\ & =\frac{x^2}{2}\arccos x-\frac{1}{4}x\cdot \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{4}\arccos x\\ & =\frac{2x^2-1}{4}\arccos x-\frac{x}{4}\cdot \sqrt{1-x^2}\\ {\int }_0^{1}x\arccos xdx& ={\frac{2x^2-1}{4}\arccos x-\frac{x}{4}\cdot \sqrt{1-x^2}|}_0^1=\frac{2\cdot 1^2-1}{4}\arccos 1-\frac{1}{4}\cdot \sqrt{1-1^2}+\frac{2\cdot 0^2-1}{4}\arccos 0-\frac{0}{4}\cdot \sqrt{1-0^2}\\ & =0-0-\frac{-1}{4}\cdot \frac{\pi }{2}+0\\ & =\frac{\pi }{8}\end{array}$