TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 269

Untersuchen Sie folgende uneigentlichen Integrale auf Konvergenz.

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}dx$

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Hilfreiches

Satz 5.61 (Aus dem Mathebuch):

Seien $f$ und $g$ stückweise stetige Funktionen auf $[0,\mathrm{\infty })$ und es gelte $|f(x)|\le g(x)$ für alle $x\ge 0$.

Ist ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(x)dx$ konvergent, so ist ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$ ebenfalls konvergent.

Anmerkungen zu den Lösungen

Aus dem alten Lösungsvorschlag wurde ich nicht wirklich schlau. Auch wenn es der richtige Ansatz zu sein scheint, ist der Rechenweg für mich nicht 100%ig nachvollziehbar. Daher hier neu zusammengefasst, damit man es (hoffentlich) einfacher versteht.

--MatheFreak 00:34, 23. Mär. 2011 (CET)

Lösungsvorschlag (neu)

Anscheinend kann man das Integral mit den üblichen Rechenregeln nicht lösen (zumindest ist es weder mir, noch meinem TI-92 gelungen *g*). Daher muss man sich etwas anderes überlegen, um zu zeigen, dass dieses Integral konvergent/ divergent ist.

Und hier kommt uns der oben angeführte Satz zur Hilfe.<br\> Man muss nur eine Funktion finden, die größer ist, als unsere gegebene und von der wir wissen, dass sie konvergent ist.

1. Funktion

Das scheint auch nicht weiter schwierig zu sein. Nachdem $\sin x\le 1$ gilt auch $\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}\le \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Da man diese Funktion einfach integrieren kann, dürfte es nicht schwierig sein, hier die Konvergenz zu bestimmen:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx={\frac{-2}{\sqrt{x}}|}_0^{\mathrm{\infty }}=-2\underset{x_1\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{x_1}}+2\underset{x_2\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x_2}}$

Und hier tut sich aber ein Problem auf: Der 2. Term (untere Grenze) ist nicht bestimmt, also kommen wir mit dieser Funktion doch nicht so einfach zum Ziel. <br\> Also versuchen wir unser Glück mit einer anderen Funktion.

2. Funktion

Es gilt auch $\sin x\le x$ (das kann man sich über die Darstellung des Sinus als Potenzreihe überlegen). <br\> Daher muss wieder gelten $\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}\le \frac{x}{x^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$

Auch hier es nicht weiter schwierig das zu integrieren:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx={2\sqrt{x}|}_0^{\mathrm{\infty }}$

Aber auch hier sieht man, dass das nicht funktioniert, weil man mit der oberen Schranke wieder im unendlichen ist.

Zusammengefasst haben wir nun zwei Funktionen, wobei wir bei der Ersten ein Problem an der unteren Grenze und bei der Zweiten ein Problem an der oberen haben. <br\> Daher drängt sich der Gedanke auf, die beiden so zusammenstoppeln, dass wird die "Probleme" umgehen:

Aufteilung des Integrals

Es spricht nichts dagegen das ursprüngliche Integral in zwei Teile aufzuspalten:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}dx={\int }_0^a\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}dx+{\int }_a^{\mathrm{\infty }}\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}dx$

a ist dabei ein beliebiger Wert aus dem Intervall $(0,\mathrm{\infty })$

mit den bereits zuvor angestellten Überlegungen kann man nun die die folgende Ungleichung aufstellen (man ersetzt jeweils ein Teilintegral durch die passende Funktion):

$\begin{array}{cc}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}dx& \le {\int }_0^a\frac{1}{\sqrt{x}}dx+{\int }_a^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}={2\sqrt{x}|}_0^a+{\frac{-2}{\sqrt{x}}|}_a^{\mathrm{\infty }}=(2\sqrt{a}-2\sqrt{0})+(-2\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{-2}{\sqrt{a}})\\ & \le 2\sqrt{a}+\frac{2}{\sqrt{a}}\end{array}$

Damit wäre gezeigt, dass das Integral konvergent ist, weil das Ergebnis $<\mathrm{\infty }$ ist.

Jetzt könnte man sich noch fragen, wie groß das Integral überhaupt werden kann:

Durch unsere Näherung haben wir eine Obere Schranke an der Stelle, wo die Funktion $h(a)=2\sqrt{a}+\frac{2}{\sqrt{a}}$ ein Minimum besitzt.

Kurzanleitung: h(a) zwei Mal ableiten, $h^{\prime }(a)$ Null setzen und nach a auflösen. Die Lösung(en) dieser Gleichung sind ein Minimum, wenn $h^{″}(a_0)>0$ <br\> (Die Berechnung selbst sei dem geneigten Leser als Übung überlassen *fg*)

So stellt sich heraus, das ein solches Minima bei a = 1 existiert.

$\Rightarrow {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}\le 2\sqrt{1}+\frac{2}{\sqrt{1}}=4$

Lösung (alt)

Das Integral aufspalten in 2 Teile:

${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}+{\int }_0^1\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bei ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}$ kann man definitiv sagen, dass es konvergiert, da $|\sin x|\le 1$ ist und damit $\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}\le \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Majorante für ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=2$

Die Funktion beschränkt $\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}$ nach oben hin, also ist $\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}\le 2$

Lt. Prof. Urbanek:

Zwischen 0 und 1 wählt man die Funktion $\frac{x}{x^{3/2}}$ als Majorante. Damit ergibt sich (nach Kürzen, da $\frac{x}{x^{3/2}}=\frac{x}{\sqrt{x^3}}$):

${\int }_0^1\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}\le {\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x}}$

Daraus folgt schließlich, dass

$\underset{a\to 0}{lim}2\sqrt{x}{|}_a^1$ $+\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}-2\ast \frac{1}{\sqrt{x}}{|}_1^b=4$
${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|\sin x|}{x^{\frac{3}{2}}}\le 4$

--Psygate 21:05, 25. Mär. 2010 (CET)