TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 129

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Man untersuche, wo die Funktion differenzierbar ist und bestimme dort :

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Lösungsvorschlag von Schakal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analysiere Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wann wäre diese Funktion nicht stetig:

  • Nenner = 0
  • Oder Nenner (negative Wurzel). Da wir ja mit reellen Funktionen rechnen.

Daher müssen wir die quadratische Gleichung innerhalb der Wurzel Lösen.

Anmerkungen:

  • Wieso ist |x-2| bei x = 2 unstetig?
    • Ist stetig habe hab da Stetigkeit mit Differenzierbakreit vermsicht. Aber es gilt Ableitung für x=2 existiert nicht.
  • Um Verwirrungen zu vermeiden, sollte angemerkt werden dass f(x) in den oben angegebenen Fällen (Untersuchung des Nenners) stetig ist
  • Stetigkeit vs. Differenzierbarkeit: Eine im Punkt x0 differenzierbare Funktion ist dort auch stetig. Die Umkehrung gilt jedoch nicht! -> Wozu die Untersuchung auf die Stetigkeit, wenn die Untersuchung auf Differenzierbarkeit gefragt ist? Es wurde lediglich Definitionsbereich der gegebenen Funktion festgestellt, Differenzierbarkeit beweist man mit der Grenzwertrechnung.
    • Antwort dazu: Die Umkehrung gilt nicht, da hast du recht. Aber wenn eine Funktion in x0 nicht stetig ist, kann sich in x0 auch nicht differenzierbar sein, sonst könnte die Aussage "Eine im Punkt x0 differenzierbare Funktion ist dort auch stetig." ja nicht stimmen.

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da kann man jetzt entweder nach der Produktregel oder Quotientenregel vorgehen.

Für

Das kann man jetzt noch weiter vereinfachen und auf einen Bruch bringen. Wenn richtig gerechnet wurde, ist das ident mit der Lösung Quotientenregel.

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnliche Beispiele: