TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 288

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren:

$\sum _{n\ge 10}\frac{1}{n\ln n\ln (\ln n)\ln (\ln (\ln n){)}^5}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Angabe

Lösungsvorschlag von Pieron

${\int }_{10}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\ln x\ln (\ln x)\ln (\ln (\ln x){)}^5}dx$

mehrfache Substitution:

ln(x) = u; du = dx/x; du*x = dx

${\int }_{10}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{u\ln (u)\ln (\ln (u){)}^5}du$

ln(u) = t; dt = du/u; dt*u = du

${\int }_{10}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{t\ln (t{)}^5}dt$

ln(t) = z; dz = dt/t; dz*t = dt

${\int }_{10}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^5}dt$

${-\frac{1}{4z^4}|}_{10}^{\mathrm{\infty }}$

Rücksubstitution:

${-\frac{1}{4\ln (\ln (\ln x){)}^4}|}_{10}^{\mathrm{\infty }}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{1}{4\ln (\ln (\ln x){)}^4}+\frac{1}{4\ln (\ln (\ln 10){)}^4}$

linker Teil:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{1}{4\ln (\ln (\ln x){)}^4}=0$

rechter Teil:

$\frac{1}{4\ln (\ln (\ln 10){)}^4}=\mathrm{230.460477...}$

${\int }_{10}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\ln x\ln (\ln x)\ln (\ln (\ln x){)}^5}=0+\mathrm{230.460477...}\Rightarrow$ Integral & Reihe sind konvergent.

Q.E.D.