TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 376

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im angegebenen Bereich:

$f(x,y)=2x^3-5x{y}^2+3y$ für $x,y\in R$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungshilfe

Graphische Auswertung(1)

Graphische Auswertung(2)

$f_x=6x^2-5y^2$

$f_y=3-10xy$

Nun setzt man beide Formeln gleich 0. Als erstes für x:

$6x^2-5y^2=0$

$6x^2=5y^2$

$x^2=\frac{5y^2}{6}$ (das lösen wir jetzt nicht weiter auf, man sieht dann warum)

und dann für y:

$3-10xy=0$

$3=10xy$

$\frac{3}{10x}=y$

Weiter geht't mit Einsetzen. Wir setzen nun das Ergebnis von y in die Formel von x ein:

$x^2=\frac{5(\frac{3}{10x}{)}^2}{6}=\frac{5(\frac{9}{100x^2})}{6}=\frac{\frac{45}{100x^2}}{6}=\frac{45}{600x^2}$

Daraus folgt:

$x^4=\frac{45}{600}=\frac{3}{40}=>x=\pm \sqrt[4]{\frac{3}{40}}$

Das nun in die y-Formel eingesetzt ergibt:

$y=\frac{3}{10\pm \sqrt[4]{\frac{3}{40}}}$

- Luki (Komplette Lösung folgt)

Links

• Diskussion im Informatik-Forum SS07 Beispiel 99
• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 124

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