TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 9

Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld $u(p)={\begin{pmatrix}xy^{2}\\x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}$ entlang des Weges $3y^{2}=4x$ von $(0,0)$ nach $(3,2)$ und entlang des Streckenzugs $(0,0)\,\,\rightarrow \,\,(3,0)\,\,\rightarrow \,\,(3,2)$.

Theoretische Grundlagen: Berechnung des Kurvenintegrals

Berechnung des Kurvenintegrals $\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}({\vec {F}}\cdot {\dot {\vec {r}}})\,\,dt$

1. Dem Feldvektor ${\vec {F}}(x,y,z)={\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}$´die Koordinaten durch die parameterunabh. Koordinaten der Raumkurve $C$ ersetzen. Feldvektor und Komponenten hängen nur noch von t ab. Differenzierung des Ortsvektors ${\vec {r}}(t)$ nach t - erhalten Tangentenvektor. Bildung skalares Produkt aus Feld- u. Tangentenvektor
2. Skalarprodukt nur noch von t abh - gewöhnliche Integration in festzulegenden grenzen

OK,also machen wir uns mal an die Kurve $C$ - in unserm Fall gibt es aber nur x und y, so dass wir nun $3y^{2}=4x$ in Parameterform darstellen müssen ... hilfreich zur Parametrisierung sind folgende Links:

• Thread 1 aus Matheplanet
• Thread 2 aus Matheplanet
• Thread aus Newsgroup de.sci.mathematik
• Mathworld - Parametric Equations

Lösungsvorschlag von mnemetz

Weg entlang $3y^{2}=4x$

$3y^{2}=4x$ ist demnach m.E. wie folgt zu parametrisieren:

1. Explizite Darstellung: $y=\pm {\sqrt {\frac {4x}{3}}}$
2. Parametrisierung der Kurve: ${\vec {x(t)}}={\vec {r}}={\begin{pmatrix}t\\{\sqrt {\frac {4t}{3}}}\end{pmatrix}}$ mit $t\in [0,3]$. Ich nehme hier explizit nur die positive Lösung, denn die negative kommt m.E. nicht in Betracht (neg. x(t)-Werte => nicht in Angabe)

OK, und nun bilden wir den Tangentialvektor ${\dot {\vec {r}}}$, als da ist: ${\dot {\vec {r}}}={\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {4}{3t}}}\end{pmatrix}}$.

Das nach ${\vec {r}}$ parametrisierte u ist dann ${\vec {F}}(t)={\begin{pmatrix}{\frac {4}{3}}t^{2}\\t^{2}-{\frac {4}{3}}t\end{pmatrix}}$

Nun bilden wir das Kurvenintegral durch $\int _{0}^{3}{\vec {F}}\cdot {\dot {\vec {r}}}\,\,dt$ (Integral über Skalarprodukt), als da ist: $\int _{0}^{3}{\frac {4}{3}}t^{2}+{\frac {1}{3}}t^{3/2}-{\frac {4}{3{\sqrt {3}}}}t^{1/2}\,\,dt={\frac {4}{9}}t^{3}+{\frac {2}{5{\sqrt {3}}}}t^{5/2}-{\frac {4\cdot 2}{3\cdot {\sqrt {3}}\cdot 3}}t^{3/2}|_{0}^{3}=12,9{\dot {3}}$

Anmerkung von axestr man kann auch einfach in anstatt y=t(x) nach x=t(y) parametriesieren: $weg(t)={\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}t^{2}\\t\end{pmatrix}}$. Dann braucht man sich keine Gedanken über eine +/- Fallunterscheidung machen, und berechnet halt $\int _{0}^{2}({\frac {3}{4}}t^{2}\cdot t^{2})\cdot ({\frac {3}{4}}t^{2})'\ dt\quad +\quad \int _{0}^{2}(({\frac {3}{4}}t^{2})^{2}-t^{2})\cdot (t)'\ dt=...=12,9{\dot {3}}$.

Streckenzug

... entlang des Streckenzugs $(0,0)\,\,\rightarrow \,\,(3,0)\,\,\rightarrow \,\,(3,2)$

Hilfreich ist es, sich eine Grafik aufzuzeichnen, aus der ersichtlich wird, dass der Streckenzug aus drei Teilen besteht, welche wir sogleich parametrisieren und die Tangentialvektoren bilden:

• $(0,0)\,\,\rightarrow \,\,(3,0)$: K1
  • y = 0
  • ${\vec {r}}_{K1}={\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}},\qquad t\in [0,3]$
  • ${\dot {\vec {r}}}_{K1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$
• $(3,0)\,\,\rightarrow \,\,(3,2)$: K2
  • x = 3
  • ${\vec {r}}_{K2}={\begin{pmatrix}3\\t\end{pmatrix}},\qquad t\in [0,2]$
  • ${\dot {\vec {r}}}_{K2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$
• $(3,2)\,\,\rightarrow \,\,(0,0)$: K3
  • $y={\frac {2}{3}}x$
  • * K3 (nicht notwendig, da Sreckenzug nicht geschlossen) ${\vec {r}}_{K3}={\begin{pmatrix}t\\{\frac {2}{3}}t\end{pmatrix}},\qquad t\in <3,0>$
  • ${\dot {\vec {r}}}_{K3}={\begin{pmatrix}1\\{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}$

Die Kurvenintegrale zusammengezählt ergeben dann das Kurvenintegral des Streckenzugs. Wir bilden nun die einzelnen Kurvenintegrale:

• K1
  • parametrisiert: ${\vec {F}}_{K1}={\begin{pmatrix}0\\t^{2}\end{pmatrix}}$
  • $\int _{0}^{3}{\vec {F}}_{K1}\cdot {\dot {\vec {r}}}_{K1}\,\,dt=0$
• K2
  • parametrisiert: ${\vec {F}}_{K2}={\begin{pmatrix}3t^{2}\\9-t^{2}\end{pmatrix}}$
  • $\int _{0}^{2}{\vec {F}}_{K2}\cdot {\dot {\vec {r}}}_{K2}\,\,dt=\int _{0}^{2}9-t^{2}\,\,dt=9t-{\frac {1}{3}}t^{3}|_{0}^{2}=15.{\dot {3}}$
• K3 (nicht notwendig, da Sreckenzug nicht geschlossen)
  • parametrisiert: ${\vec {F}}_{K3}={\begin{pmatrix}{\frac {4}{9}}t^{3}\\{\frac {5}{9}}t^{2}\end{pmatrix}}$
  • (- wegen Richtungsumkehr!) $-\int _{0}^{3}{\vec {F}}_{K3}\cdot {\dot {\vec {r}}}_{K3}\,\,dt=-\int _{0}^{3}{\frac {4}{9}}t^{3}+{\frac {10}{27}}t^{2}\,\,dt=\dots$

Danach (K1 + K2) zusammenrechnen.

Anmerkung von axestr: Wenn man wie oben angemerkt in die andere Richtung parametriesiert, dann hat man für den Streckenzug (0,0)->(3,0)->(3,2) die Summe von $\int _{0}^{0}\dots \ dt\quad +\quad \int _{0}^{2}\dots \ dt$, was man dann schon im ersten Bsp. berechnet hat ;-)

Material,Links und Literatur:

• Wer in der VO vom 09.05. aufgepasst hat, hat den Streckenzug de facto vorgerechnet bekommen
• Links zur Parametrisierung wurden oben gegeben
• Zum Kurvenintegral sehr anschaulich ein Link
• Empfehle Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwiss., Bd. 3, S. 147ff.

--Markus Nemetz 05:56, 18. Mai 2006 (CEST)

Informatikforum

• Aktueller Thread --Markus Nemetz 05:56, 18. Mai 2006 (CEST)
• UE Runde 8 (18.05.06), Gruppe 12, Allg. Tipps --Markus Nemetz 08:35, 11. Mai 2006 (CEST)

Andere Websites

• Kurvenintegral entlang ... (13.1.1.) --Markus Nemetz 08:47, 11. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 71 / SS07 Beispiel 133