TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 9

Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld $u(p)=\left(\begin{array}{c}x{y}^2\\ x^2-y^2\end{array}\right)$ entlang des Weges $3y^2=4x$ von $(0,0)$ nach $(3,2)$ und entlang des Streckenzugs $(0,0)\to (3,0)\to (3,2)$.

Theoretische Grundlagen: Berechnung des Kurvenintegrals

Berechnung des Kurvenintegrals $\int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}={\int }_{t_1}^{t_2}(\overrightarrow{F}\cdot \dot{\overrightarrow{r}})dt$

1. Dem Feldvektor $\overrightarrow{F}(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}\right)$´die Koordinaten durch die parameterunabh. Koordinaten der Raumkurve $C$ ersetzen. Feldvektor und Komponenten hängen nur noch von t ab. Differenzierung des Ortsvektors $\overrightarrow{r}(t)$ nach t - erhalten Tangentenvektor. Bildung skalares Produkt aus Feld- u. Tangentenvektor
2. Skalarprodukt nur noch von t abh - gewöhnliche Integration in festzulegenden grenzen

OK,also machen wir uns mal an die Kurve $C$ - in unserm Fall gibt es aber nur x und y, so dass wir nun $3y^2=4x$ in Parameterform darstellen müssen ... hilfreich zur Parametrisierung sind folgende Links:

• Thread 1 aus Matheplanet
• Thread 2 aus Matheplanet
• Thread aus Newsgroup de.sci.mathematik
• Mathworld - Parametric Equations

Lösungsvorschlag von mnemetz

Weg entlang $3y^2=4x$

$3y^2=4x$ ist demnach m.E. wie folgt zu parametrisieren:

1. Explizite Darstellung: $y=\pm \sqrt{\frac{4x}{3}}$
2. Parametrisierung der Kurve: $\overrightarrow{x(t)}=\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}t\\ \sqrt{\frac{4t}{3}}\end{array}\right)$ mit $t\in [0,3]$. Ich nehme hier explizit nur die positive Lösung, denn die negative kommt m.E. nicht in Betracht (neg. x(t)-Werte => nicht in Angabe)

OK, und nun bilden wir den Tangentialvektor $\dot{\overrightarrow{r}}$, als da ist: $\dot{\overrightarrow{r}}=\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{4}{3t}}\end{array}\right)$.

Das nach $\overrightarrow{r}$ parametrisierte u ist dann $\overrightarrow{F}(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{4}{3}{t}^2\\ t^2-\frac{4}{3}t\end{array}\right)$

Nun bilden wir das Kurvenintegral durch ${\int }_0^3\overrightarrow{F}\cdot \dot{\overrightarrow{r}}dt$ (Integral über Skalarprodukt), als da ist: ${\int }_0^3\frac{4}{3}{t}^2+\frac{1}{3}{t}^{3/2}-\frac{4}{3\sqrt{3}}{t}^{1/2}dt=\frac{4}{9}{t}^3+\frac{2}{5\sqrt{3}}{t}^{5/2}-\frac{4\cdot 2}{3\cdot \sqrt{3}\cdot 3}{t}^{3/2}{|}_0^3=12,9\dot{3}$

Anmerkung von axestr man kann auch einfach in anstatt y=t(x) nach x=t(y) parametriesieren: $weg(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{4}{t}^2\\ t\end{array}\right)$. Dann braucht man sich keine Gedanken über eine +/- Fallunterscheidung machen, und berechnet halt ${\int }_0^2(\frac{3}{4}{t}^2\cdot t^2)\cdot (\frac{3}{4}{t}^2{)}^{\prime }dt+{\int }_0^2((\frac{3}{4}{t}^2{)}^2-t^2)\cdot (t{)}^{\prime }dt=\mathrm{...}=12,9\dot{3}$.

Streckenzug

... entlang des Streckenzugs $(0,0)\to (3,0)\to (3,2)$

Hilfreich ist es, sich eine Grafik aufzuzeichnen, aus der ersichtlich wird, dass der Streckenzug aus drei Teilen besteht, welche wir sogleich parametrisieren und die Tangentialvektoren bilden:

• $(0,0)\to (3,0)$: K1
  • y = 0
  • ${\overrightarrow{r}}_{K1}=\left(\begin{array}{c}t\\ 0\end{array}\right),t\in [0,3]$
  • ${\dot{\overrightarrow{r}}}_{K1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$
• $(3,0)\to (3,2)$: K2
  • x = 3
  • ${\overrightarrow{r}}_{K2}=\left(\begin{array}{c}3\\ t\end{array}\right),t\in [0,2]$
  • ${\dot{\overrightarrow{r}}}_{K2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$
• $(3,2)\to (0,0)$: K3
  • $y=\frac{2}{3}x$
  • * K3 (nicht notwendig, da Sreckenzug nicht geschlossen) ${\overrightarrow{r}}_{K3}=\left(\begin{array}{c}t\\ \frac{2}{3}t\end{array}\right),t\in <3,0>$
  • ${\dot{\overrightarrow{r}}}_{K3}=\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{2}{3}\end{array}\right)$

Die Kurvenintegrale zusammengezählt ergeben dann das Kurvenintegral des Streckenzugs. Wir bilden nun die einzelnen Kurvenintegrale:

• K1
  • parametrisiert: ${\overrightarrow{F}}_{K1}=\left(\begin{array}{c}0\\ t^2\end{array}\right)$
  • ${\int }_0^3{\overrightarrow{F}}_{K1}\cdot {\dot{\overrightarrow{r}}}_{K1}dt=0$
• K2
  • parametrisiert: ${\overrightarrow{F}}_{K2}=\left(\begin{array}{c}3t^2\\ 9-t^2\end{array}\right)$
  • ${\int }_0^2{\overrightarrow{F}}_{K2}\cdot {\dot{\overrightarrow{r}}}_{K2}dt={\int }_0^{2}9-t^{2}dt=9t-\frac{1}{3}{t}^3{|}_0^2=15.\dot{3}$
• K3 (nicht notwendig, da Sreckenzug nicht geschlossen)
  • parametrisiert: ${\overrightarrow{F}}_{K3}=\left(\begin{array}{c}\frac{4}{9}{t}^3\\ \frac{5}{9}{t}^2\end{array}\right)$
  • (- wegen Richtungsumkehr!) $-{\int }_0^3{\overrightarrow{F}}_{K3}\cdot {\dot{\overrightarrow{r}}}_{K3}dt=-{\int }_0^3\frac{4}{9}{t}^3+\frac{10}{27}{t}^{2}dt=\dots$

Danach (K1 + K2) zusammenrechnen.

Anmerkung von axestr: Wenn man wie oben angemerkt in die andere Richtung parametriesiert, dann hat man für den Streckenzug (0,0)->(3,0)->(3,2) die Summe von ${\int }_0^0\dots dt+{\int }_0^2\dots dt$, was man dann schon im ersten Bsp. berechnet hat ;-)

Material,Links und Literatur:

• Wer in der VO vom 09.05. aufgepasst hat, hat den Streckenzug de facto vorgerechnet bekommen
• Links zur Parametrisierung wurden oben gegeben
• Zum Kurvenintegral sehr anschaulich ein Link
• Empfehle Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwiss., Bd. 3, S. 147ff.

--Markus Nemetz 05:56, 18. Mai 2006 (CEST)

Informatikforum

• Aktueller Thread --Markus Nemetz 05:56, 18. Mai 2006 (CEST)
• UE Runde 8 (18.05.06), Gruppe 12, Allg. Tipps --Markus Nemetz 08:35, 11. Mai 2006 (CEST)

Andere Websites

• Kurvenintegral entlang ... (13.1.1.) --Markus Nemetz 08:47, 11. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 71 / SS07 Beispiel 133