TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 226

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) $x_{n+2}-7x_{n+1}+12x_n=0$

(b) $x_{n+2}+x_{n+1}+x_n=0$

(c) $x_{n+2}-8x_{n+1}+16x_n=0$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

(a)

$x_{n+2}-7x_{n+1}+12x_n=0$

die Charakteristische Gleichung ist somit:

${\lambda }^2-7\lambda +12$

mit der Lösung:

${\lambda }_{1,2}=\{3,4\}$

Die Lösung der Gleichung hat also die Form:

$x_n=C_1\cdot 3^n+C_2\cdot 4^n,C_1,C_2\in ℝ$

(b)

Charakteristische Gleichung

${\lambda }^2+\lambda +1=0$

${\lambda }_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}-1}$

${\lambda }_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{-\frac{3}{4}}$

${\lambda }_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{-3}$

${\lambda }_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{3}i$

Polarkoordinaten $r$

$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$

Polarkoordinaten $\varphi$

Mit Hilfe des Arkustangens kann $\varphi$ wie folgt im Intervall $(-\pi ,\pi ]$ bestimmt werden:

$\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \frac{b}{a}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a>0\\ \arctan \frac{b}{a}+\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0,b\ge 0\\ \arctan \frac{b}{a}-\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0,b<0\\ +\pi /2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0,b>0\\ -\pi /2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0,b<0\end{array}$

$\Rightarrow {\varphi }_{{\lambda }_1}=\arctan \frac{b}{a}+\pi =\arctan \frac{\sqrt{3}}{-1}+\pi =-\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{2\pi }{3}$

$\Rightarrow {\varphi }_{{\lambda }_2}=\arctan \frac{b}{a}-\pi =\arctan \frac{-\sqrt{3}}{-1}-\pi =\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{2\pi }{3}$

Für $\cos \varphi$ und $\sin \varphi$ gilt:

$\cos \varphi =\cos -\varphi$

$\sin \varphi =-\sin -\varphi$

Damit folgt:

${\lambda }_1=r(\cos {\varphi }_{{\lambda }_1}+i\sin {\varphi }_{{\lambda }_1})=1(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})$

${\lambda }_2=r(\cos {\varphi }_{{\lambda }_2}+i\sin {\varphi }_{{\lambda }_2})=1(\cos -\frac{2\pi }{3}+i\sin -\frac{2\pi }{3})=1(\cos \frac{2\pi }{3}-i\sin \frac{2\pi }{3})$

Oder in kombinierter Darstellung:

${\lambda }_{1,2}=r(\cos \varphi \pm i\sin \varphi )=1(\cos \frac{2\pi }{3}\pm i\sin \frac{2\pi }{3})$

Die Allgemeine Loesung lautet:

$x_n=1^n(C_1\cos \frac{2\pi }{3}n+C_2\sin \frac{2\pi }{3}n)\text{mit}{C}_1,C_2\in ℝ$

Sollte jetzt so passen! --Jules 22:50, 30. Mai 2011 (CEST)

Nochmal leicht nachgebessert und detailliert. --Fabianm 09:00, 01. Dez. 2021 (CET)

(c)

Charakteristische Gleichung

${\lambda }^2-8\lambda +16=0$

${\lambda }_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{-8^2-4\cdot 16}}{2}$

${\lambda }_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{0}}{2}$

${\lambda }_{1,2}=4$

$a^2-4b=0\Rightarrow$ die allgemeine Loesung ist

$x_n=C_1{\lambda }_1^n+C_{2}n{\lambda }_1^n=(C_1+C_{2}n){\lambda }_1^n\text{mit}{C}_1,C_2\in ℝ$

$\Rightarrow x_n=(C_1+C_{2}n)4^n$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 211

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