TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 244

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Stellen Sie eine Rekursion für die gesuchten Zahlen a_n auf und lösen Sie diese:

a_n sei die größte Anzahl von Teilen, in die eine Kugel durch n Großkreise zerlegt werden kann. (Ein Großkreis ist ein Kreis auf der Kugel, dessen Mittelpunkt gleich dem Kugelmittelpunkt ist.)


Lösungsvorschlag von Baccus[edit]

Die Parameter der gesuchten Lösung können hier nur empirisch gefunden werden.


  • Ein Großkreis schneidet alle vorher eingeschriebenen Großkreise, falls er nicht ein identischer ist.
  • Um die Anzahl der Kugelfraktionen maximal zu machen, darf der neue Großkreis keine Schnittpunkte der vorherigen Teilungen beinhalten.
(Wie in der Empirik üblich, gibt es dazu keine (mathematischen) Beweise; nehmt eine Orange und spannt experimentelle Gummiringe drum 'rum :))


Jeder neu eingeschriebene, non-prä-idente Großkreis teilt also die schon existierenden Kugelfragmente in zwei Teile. Das passiert jeweils sowohl auf der Kugelvorder- und Kugel-Rückseite: a_{n+1}=a_n+2n

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Damit können wir arbeiten:

a_n=a_{n-1}+2(n-1),\quad n\geq2,\quad a_1=2,\;a_0=1,

also ist:

a_n=2+\underbrace{2(2-1)+2(2)+2(3)+\cdots+2(n-1)}_{arithm. Reihe}

Mit der Summenformel für arithm. Reihen ergibt sich:

a_n=2+\;(n-1)\frac{2+2(n-1)}{2}


Kürzen: a_n=2+(n-1)n

--Baccus 00:58, 7. Jun 2007 (CEST)


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