TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 243

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Man berechne:


\int_{1}^{e} \frac{dx}{x\sqrt{\ln{x}}}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Substitutionsregel[Bearbeiten, WP, 5.41 Satz]

\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du mit u=u(x)

Potenzintegral[Bearbeiten]

Integral einer Potenz:

\int x^n\;dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1)

Lösung(svorschlag)[Bearbeiten]

von --Drgruselglatz (Diskussion) 17:52, 28. Mai 2018 (CEST)

Zuerst substituiere man
 \ln{x} = t.

Daraus ergibt sich nach beidseitigem Ableiten

\frac{1}{x} = \frac{dt}{dx}

bzw.

dx = x dt..

Die neuen Grenzen erhält man durch Einsetzen der alten Grenzen in die Substitution

t_\text{unten} = \ln{(1)} = 0

t_\text{oben} = \ln{(e)} = 1.

Nach dem Einsetzen der Substitution in das ursprüngliche Integral ist nun noch

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt

zu lösen. Nach der äquivalenten Umformung

\frac{1}{\sqrt{t}} = t^{-\frac{1}{2}}.

ergibt sich nun unter Zuhilfenahme der Potenzregel (siehe oben)

\int_{0}^{1} t^{-\frac{1}{2}} dt = \bigg[2 t^{\frac{1}{2}}\bigg]_0^1 = 2 - 0 = 2.

Alternativ kann man natürlich auch zuerst das unbestimmte Integral lösen und danach für die urspünglichen Grenzen lösen.