TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 223

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Man berechne:

\int \arccos x \,dx

Lösung[Bearbeiten]

 f(x) = arccos(x)

 f'(x)=  \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

 g'(x)= 1

 g(x) = x

 f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) dx

 x \cdot arccos(x) - \int (\frac{-1 \cdot x}{\sqrt{1-x^2}}) dx

 u = \sqrt{1-x^2}

 \frac{du}{dx} = \frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot 2x \rightarrow du = \frac{-1 \cdot x}{\sqrt{1-x^2}} dx

 x \cdot arccos (x) - \int (\frac{-1 \cdot x}{\sqrt{1-x^2}}) dx \rightarrow x \cdot arccos(x) - \int du

 x \cdot arccos(x) - u + C = x \cdot arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C

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