TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 227

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Man berechne:

\int \sin{x} \cdot (1+2 \cdot \cos{x})^4 \cdot dx

Hilfreiches[Bearbeiten]

Substitutionsregel

\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du mit u=u(x)   (Satz 5.41)

Lösung:[Bearbeiten]

Substitution:

u = 1+2 \cdot \cos{x} \Longrightarrow du=-2\sin x\;dx

\frac{du}{dx} = 1 + 2 \cdot \cos{x} \Longleftrightarrow 
dx = -\frac{du}{2 \cdot \sin{x}}

Einsetzen und vereinfachen:

 \int \sin{x}\cdot (u)^4 \cdot -\frac{du}{2 \cdot \sin{x}} = 
\int (u)^4 \cdot (-\frac{du}{2})

Integrieren und Resubstituieren:

\frac{(u)^5}{5} \cdot-\frac{1}{2} +c =
 \frac{(1+2 \cdot \cos{x})^5}{5} \cdot (-\frac{1}{2}) +c =
 -\frac{(1+2 \cdot \cos{x})^5}{10} +c

--Foxtur 03:14, 27. Mär 2007 (CEST)

Links:[Bearbeiten]