TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 230

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Man berechne das unbestimmte Integral \int \frac{x^2 + 1}{x^3 + x^2 - x - 1}\,\mathrm dx.

Mathebuch Seite 208-209, ist genau dieses Bsp. zu finden... Ja, der erste Versuch ist bei der Partialbruchzerlegung falsch.

Vorschlag von Moritz.F[Bearbeiten]

ausklammern und auf vollständiges Quadrat ergänzen, dann (x+1)^2
nochmal ausklammern: \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + x - 1 + x + 2) - 1 - x^2 - 2x} = \frac{x^2 + 1}{(x+1)^2(x-1)}
jetzt Partialbruchzerlegung \frac{x^2 + 1}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{Ax+B}{(x+1)^2} + \frac{C}{(x-1)} => A=B=C= \frac{1}{2}
1/2 ausklammern, dann integrieren: \frac{1}{2} * \int \frac{x}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x-1)}\, dx
\frac{1}{2} * (ln(|x+1|) + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+1} + ln(|x-1|)) = \frac{1}{2} * (ln(|x+1|) + ln(|x-1|)

Kommentar von Alkogan[Bearbeiten]

Laut Mathematica müsste das stimmen: \frac {1}{1 + x} + \frac{1}{2} ln|-1 + x| + \frac{1}{2} ln|1 + x| + c

Ich glaube der Fehler liegt bei der Partialbruchzerlegung, ich bekomme da:

 A = C = \frac{1}{2}

 B = -1

Kommentar von --Mhaslhofer 17:06, 18. Okt. 2009 (CEST)[Bearbeiten]

Die Partialbruchzerlegung der Lösung stimmt glaub ich nicht:

\frac{x^2 + 1}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{Ax+B}{(x+1)^2} + \frac{C}{(x-1)} => A=B=C= \frac{1}{2}

Der Term \frac{Ax+B}{(x+1)^2} deutet auf eine nicht reelle Nullstelle hin. (x + 1)^2 hat aber eine reelle (doppelte) Nullstelle auf x = -1

Mein Vorschlag zum Partialbruch (deckt sich mit Alkogans Kommentar):

\frac{x^2 + 1}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x+1)} + \frac{C}{(x+1)^2} => A=B=\frac{1}{2}, C=-1

und daher, die Lösung von Alkogan:

\int \frac{x^2 + 1}{x^3 + x^2 - x - 1} \, dx = \frac {1}{1 + x} + \frac{1}{2} ln|x-1| + \frac{1}{2} ln|1 + x| + c

Links[Bearbeiten]

Siehe Buch Seite 208-209.