TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 249

Man berechne:

$\int \frac{(e^x-1)}{(e^{2x}+1)}dx$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Substitution:

$e^x=u;dx\ast e^x=du;dx=\frac{du}{u}$

Partialbruchzerlegung:

$\frac{u-1}{u(u^2+1)}=\frac{Au+B}{u^2+1}+\frac{C}{u}|\cdot u(u^2+1)$

$u-1=(Au+B)u+C(u^2+1)=A{u}^2+Bu+C(u^2+1)$

$u-1=1u^2+1u+(-1)(u^2+1)$

$A=B=1C=-1$

$\frac{Au+B}{u^2+1}+\frac{C}{u}=\frac{u+1}{u^2+1}-\frac{1}{u}=\frac{u}{u^2+1}+\frac{1}{u^2+1}-\frac{1}{u}$

$\int (\frac{u}{u^2+1}+\frac{1}{u^2+1}-\frac{1}{u})du$

Integrieren:

$\int \frac{udu}{u^2+1}+\int \frac{du}{u^2+1}-\int \frac{du}{u}$

$\int \frac{udu}{u^2+1}:v:=u^2+1;dv=2udu:\frac{1}{2}\int \frac{dv}{v}=\frac{1}{2}\ln v:\frac{1}{2}\int \frac{udu}{u^2+1}=\frac{1}{2}\ln (u^2+1)$

$\int \frac{du}{u^2+1}=\arctan (u)$

$\int \frac{du}{u}=\ln u$

$\int \frac{udu}{u^2+1}+\int \frac{du}{u^2+1}-\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln (u^2+1)+\arctan u-\ln u$

Rücksubstitution:

$=\frac{1}{2}\ln (e^{2x}+1)+\arctan e^x-x$