TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 235

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Man berechne:

\int\frac{dx}{\sin x}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Betrachten wir ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem Winkel \tfrac{x}{2}, der Ankathete 1 und der Gegenkathete u.

Bsp51 dreieck.png

Dabei ergibt sich folgendes:

\sin{\tfrac{x}{2}}=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}

\cos{\tfrac{x}{2}}=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}

\tan{\tfrac{x}{2}}=\frac{u}{1}

Wir substituieren also u=\tan{\tfrac{x}{2}}.

(Anmerkung von koDiacc (da ich persönlich ewig gebraucht habe, um diesen Teil nachzuvollziehen: http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Gegenseitige_Darstellung dort wird erklärt wie man den sin anhand von tangens ausdrücken kann. da wir aber sin x/2 haben muss ich eben tan x auch durch tan x/2 aufschreiben. dieses tan x/2 ersetze ich dann durch u))


Das Additionstheorem für die Sinusfunktion besagt folgendes:

\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha} \cdot \cos{\beta} + \sin{\beta} \cdot \cos{\alpha}

In unserem Fall:

\sin{x}=\sin{\frac{x}{2}} \cdot \cos{\frac{x}{2}} + \sin{\frac{x}{2}} \cdot \cos{\frac{x}{2}} = 2 \cdot \frac{u}{1+u^2}

Abgeleitet

\frac{du}{dx}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(\cos\frac{x}{2})^2}=\frac{1}{2\cdot(\cos\frac{x}{2})^2}

du=\frac{1}{2\cdot(\cos\frac{x}{2})^2}\cdot dx

dx=2 \cdot (cos\frac{x}{2})^2 \cdot du = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \cdot du= 2 \cdot \frac{1}{1+u^2} \cdot du

(2. Anm. v. koDiacc: (tan x)' = 1/cos^2 x d.h. tan x/2 muss ich das x/2 substituieren und dann kettenregel somit steht dann 1/2 davor)

Nun können wir das Integral folgendermaßen anschreiben:

\int\frac{1+u^2}{2\cdot u} \cdot 2 \cdot \frac{1}{1+u^2} \cdot du = \int\frac{1}{u}\cdot du = \ln{|u|}+C

Rücksubstituieren:

\int\frac{dx}{\sin{x}} = \ln{|\tan\frac{x}{2}|}+C

Quelle[Bearbeiten]

SS07 Beispiel 51