TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 135

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Man zeige mittels Differenzieren:

\arctan \, \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + \frac{1}{2} \cdot \arcsin \, x = \frac{\pi}{4} \qquad x \in (-1,1)

Hilfreiches[Bearbeiten]

arcsin'
Arcsin'[Bearbeiten, WP]

\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} Folgt aus Umkehrregel.

arctan'
Arctan'[Bearbeiten, WP]

\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2} Folgt aus der Umkehrregel.

Lösunsgvorschlag[Bearbeiten]

Zunächst formen wir den Term so um, dass der arcsin-Teil auf der rechten Seite steht,

 arctan \, \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot arcsin \, x

leiten die rechte Seite sofort ab und erhalten:

- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1-x^2}}

\frac{\pi}{4} ist eine Konstante und wird daher zu Null abgeleitet.

Für den arctan-Teil, substitutieren wir zuerst den Teilterm mit u, definiert als:

 u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}

und können nun die Ableitung vornehmen
(Weil u keine Variable sondern ein substituierter Term ist, müssen wir laut Kettenregel nocheinmal mit der inneren Ableitung multiplizieren)

 arctan'(u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot u' = \frac{1}{1+\frac{1-x}{1+x}} \cdot u' = \frac{1+x}{2} \cdot u'

Für die Ableitung von u, definieren wir zur Hilfe u_Z als Zähler und u_N als Nenner von u:

 u' = \frac{u'_Z \cdot u_N - u_Z \cdot u'_N}{u^2_N}


 u'_Z = (\sqrt{1-x})' = 0.5 \cdot (1-x)^{-0.5} \cdot (-1)


 u'_N = (\sqrt{1+x})' = 0.5 \cdot (1+x)^{-0.5}


 \Rightarrow u' = \frac{ \frac{(-1) \cdot \sqrt{1+x}}{2 \cdot \sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \cdot \sqrt{1+x}} }{1+x}

Durch weiteres Umformen erhalten wir:

 = \frac{-1}{(1+x) \cdot \sqrt{1+x} \cdot \sqrt{1-x}}

Fügen wir nun die Terme zusammen erhalten wir:

 \frac{ \frac{1+x}{2} \cdot (-1) }{(1+x) \cdot \sqrt{1+x} \cdot \sqrt{1-x}} = - \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1-x^2}}

die Gleichung ist soweit wahr (linke Seite lässt sich weiter umformen).

Beweis
Für den Beweis müssen wir nun wissen, dass wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) auf einem Interval I die gleiche Ableitung besitzen, sie sich nur um eine Konstante c unterscheiden.

Aus der berechneten Ableitung sehen wir, dass f'(x) = 0 \,\,\, \forall x \in (-1,1) gilt (einfach -1 und 1 in die Ableitung einsetzen). Setzen wir nun den Punkt x_0 = 0, in dem die Ableitungen gleich sind, in die ursprüngliche Funktion ein erhalten wir f(0) = \frac{\pi}{4}.

Genügt zum Beweis der ursprünglichen Aussage.

Anmerkungen[Bearbeiten]

Material[Bearbeiten]

Links[Bearbeiten]

f.thread:41672