TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 135

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Man zeige mittels Differenzieren:

Hilfreiches[edit]

arcsin'
Arcsin'[Bearbeiten, Wikipedia]

Folgt aus Umkehrregel.

arctan'
Arctan'[Bearbeiten, Wikipedia]

Folgt aus der Umkehrregel.

Lösunsgvorschlag[edit]

Zunächst formen wir den Term so um, dass der arcsin-Teil auf der rechten Seite steht,

leiten die rechte Seite sofort ab und erhalten:

ist eine Konstante und wird daher zu Null abgeleitet.

Für den arctan-Teil, substitutieren wir zuerst den Teilterm mit , definiert als:

und können nun die Ableitung vornehmen
(Weil u keine Variable sondern ein substituierter Term ist, müssen wir laut Kettenregel nocheinmal mit der inneren Ableitung multiplizieren)

Für die Ableitung von , definieren wir zur Hilfe als Zähler und als Nenner von :




Durch weiteres Umformen erhalten wir:

Fügen wir nun die Terme zusammen erhalten wir:

die Gleichung ist soweit wahr (linke Seite lässt sich weiter umformen).

Beweis
Für den Beweis müssen wir nun wissen, dass wenn zwei Funktionen und auf einem Interval die gleiche Ableitung besitzen, sie sich nur um eine Konstante unterscheiden.

Aus der berechneten Ableitung sehen wir, dass gilt (einfach -1 und 1 in die Ableitung einsetzen). Setzen wir nun den Punkt , in dem die Ableitungen gleich sind, in die ursprüngliche Funktion ein erhalten wir .

Genügt zum Beweis der ursprünglichen Aussage.

Anmerkungen[edit]

Material[edit]

Links[edit]

f.thread:41672