TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 157

Sei $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ monoton fallend und differenzierbar. Man zeige, dass dann $f'(x)\leq 0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt.

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Lösung

Wir machen hier einen indirekten Beweis. Wir nehmen an, dass es ein $x_{0}\in \mathbb {R}$ gibt für welches $f\ '(x_{0})>0$ gilt und zeigen, dass $f$ dann nicht monoton fallend ist.

Wenn $f\ '(x_{0})>0$ ist, muss es, da die Ableitung von f stetig ist, eine ganze Umgebung von $x_{0}$ geben, für welche $f\ '>0$ ist.

Sei a und b aus dieser Umgebung und a < b. Dann folgt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung, dass es ein c gibt für das gilt:

$f(b)-f(a)=(b-a)\cdot f\ '(c),\quad c\in [a,b]$

Da $f\ '(c)>0$ ist(c liegt ja zwischen a und b und somit in der Umgebung um $x_{0}$ in der $f\ '>0$ ist) und a < b folgt:

$f(b)-f(a)=\underbrace {(b-a)} _{>0}\cdot \underbrace {f\ '(c)} _{>0}>0\Rightarrow f(b)>f(a),\quad b>a$

Damit f aber monoton fallend ist müsste für alle a, b mit a < b gelten, dass $f(b)\leq f(a)$

f ist daher nicht monoton fallend und wir sind fertig.

Alternative Lösung

Nachdem Beispiel 14 und 15 zusammen gehören hier eine alternative (einfachere) Begründung:

Beispiel 14

Nachdem die Funktion monoton fallend und differenzierbar ist muss folgendes gelten

$f\ '(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\leq 0$ mit $x\neq a$

Für den 1.Fall, dass $x<a$ gilt also: ${\frac {\geq 0}{<0}}\leq 0$

Für den 2.Fall, dass $x>a$ gilt also: ${\frac {\leq 0}{>0}}\leq 0$

Beispiel 15

Analog wie Beispiel 14:

Nachdem die Funktion streng monoton fallend und differenzierbar ist muss folgendes gelten

$f\ '(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}<0$ mit $x\neq a$

Für den 1.Fall, dass $x<a$ gilt also: ${\frac {>0}{<0}}<0$

Für den 2.Fall, dass $x>a$ gilt also: ${\frac {<0}{>0}}<0$

Skizze

--W1n5t0n 15:24, 31. Jan. 2010 (CET)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 437 / SS07 Beispiel 13