TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 135

Man zeige mittels Differenzieren:

$\arctan \,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}+{\frac {1}{2}}\cdot \arcsin \,x={\frac {\pi }{4}}\qquad x\in (-1,1)$

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Hilfreiches

arcsin'

Arcsin'

$\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ Folgt aus Umkehrregel.

arctan'

Arctan'

$\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ Folgt aus der Umkehrregel.

Lösunsgvorschlag

Zunächst formen wir den Term so um, dass der arcsin-Teil auf der rechten Seite steht,

$\arctan \,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}={\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{2}}\cdot \arcsin \,x$

leiten die rechte Seite sofort ab und erhalten:

$-{\frac {1}{2\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\frac {\pi }{4}}$ ist eine Konstante und wird daher zu Null abgeleitet.

Für den arctan-Teil, substitutieren wir zuerst den Teilterm mit $u$, definiert als:

$u={\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$

und können nun die Ableitung vornehmen
(Weil u keine Variable sondern ein substituierter Term ist, müssen wir laut Kettenregel nocheinmal mit der inneren Ableitung multiplizieren)

$\arctan '(u)={\frac {1}{1+u^{2}}}\cdot u'={\frac {1}{1+{\frac {1-x}{1+x}}}}\cdot u'={\frac {1+x}{2}}\cdot u'$

Für die Ableitung von $u$, definieren wir zur Hilfe $u_{Z}$ als Zähler und $u_{N}$ als Nenner von $u$:

$u'={\frac {u'_{Z}\cdot u_{N}-u_{Z}\cdot u'_{N}}{u_{N}^{2}}}$

$u'_{Z}=({\sqrt {1-x}})'=0.5\cdot (1-x)^{-0.5}\cdot (-1)$

$u'_{N}=({\sqrt {1+x}})'=0.5\cdot (1+x)^{-0.5}$

$\Rightarrow u'={\frac {{\frac {(-1)\cdot {\sqrt {1+x}}}{2\cdot {\sqrt {1-x}}}}-{\frac {\sqrt {1-x}}{2\cdot {\sqrt {1+x}}}}}{1+x}}$

Durch weiteres Umformen erhalten wir:

$={\frac {-1}{(1+x)\cdot {\sqrt {1+x}}\cdot {\sqrt {1-x}}}}$

Fügen wir nun die Terme zusammen erhalten wir:

${\frac {{\frac {1+x}{2}}\cdot (-1)}{(1+x)\cdot {\sqrt {1+x}}\cdot {\sqrt {1-x}}}}=-{\frac {1}{2\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

die Gleichung ist soweit wahr (linke Seite lässt sich weiter umformen).

Beweis
Für den Beweis müssen wir nun wissen, dass wenn zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ auf einem Interval $I$ die gleiche Ableitung besitzen, sie sich nur um eine Konstante $c$ unterscheiden.

Aus der berechneten Ableitung sehen wir, dass $f'(x)=0\,\,\,\forall x\in (-1,1)$ gilt (einfach -1 und 1 in die Ableitung einsetzen). Setzen wir nun den Punkt $x_{0}=0$, in dem die Ableitungen gleich sind, in die ursprüngliche Funktion ein erhalten wir $f(0)={\frac {\pi }{4}}$.

Genügt zum Beweis der ursprünglichen Aussage.

Anmerkungen

• Wichtige Ergänzungen - siehe auch f.thread:41672 ! --Markus Nemetz 22:26, 25. Mär 2006 (CET)
• Weitere kleine Korrektur. --Markus Nemetz 19:36, 25. Mär 2006 (CET)
• Kleine Korrekturen. --Markus Nemetz 19:20, 25. Mär 2006 (CET)

Material

• Lösunsgvorschlag aus dem Informatikforum, bearbeitet als PDF von mnemetz. --Markus Nemetz 14:54, 25. Mär 2006 (CET)