TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 343

Mit Hilfe der Kettenregel berechne man den Wert der partiellen Ableitung der Funktion $F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))$ nach $y$ an der Stelle (0, 0), wobei $f(g,h)=g^2+h^2$, $g(x,y)=\cos x+\sin y$ und $h(x,y)=x+y+1$ ist.

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Hilfreiches

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

$\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag

$F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))=g(x,y{)}^2+h(x,y{)}^2$

$\begin{array}{cc}{F}_y& =2g(x,y)\cdot g_y(x,y)+2h(x,y)\cdot h_y(x,y)\\ & =2(\cos x+\sin y)(0+\cos y)+2(x+y+1)(0+1+0)\\ & =2(\cos x\cos y+\sin y\cos y+x+y+1)\end{array}$

$\begin{array}{cc}{F}_y(0,0)& =2(\cos 0\cos 0+\sin 0\cos 0+0+0+1)\\ & =2(1+0+0+0+1)=2\cdot 2=4\end{array}$

Lösungsvorschlag von Tonico

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}y}=\frac{\partial f}{\partial g}\cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}y}+\frac{\partial f}{\partial h}\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}y}$

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}y}(x,y)=2(\cos x+\sin y)\cdot \cos y+2(x+y+1)\cdot 1$

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}y}(0,0)=2+2=\underset{\_}{4}$

Quelle

SS07 Beispiel 86

Links

• Lösung aus dem WS04 (PDF)