TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 388

Man bestimme das absolute Maximum der Funktion $f(x,y)=xy(3-x-y)$ auf dem Definitionsbereich $D=\{(x,y)|x\geq 0,y\geq 0,y\leq 3-x\}$.

(Anleitung: Man skizziere den Definitionsbereich $D$ in der $(x,y)$-Ebene, bestimme dessen Rand und ermittle alle Funktionswerte auf dem Rand. Das absolute Maximum ist dann unter den relativen Maxima sowie unter den Funktionswerten am Rand von $D$ zu suchen.)

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Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 10:12, 11. Mai 2006 (CEST)

Ergänzung: Vereinfachung von Clyde

Wenn man als erstes den Rand des Definitionsbereichs betrachtet, spart man sich einiges an Rechenarbeit! Man sieht nämlich schnell dass es sich dabei um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, dessen Katheten auf der x- bzw. y-Achse liegen. Jeder Punkt auf der Kathete, die auf der x-Achse liegt, liefert einen Funktionswert 0 (wegen $f(x,0)=0*x*(3-x-0)=0$). Analog gilt natürlich auch für jeden Punkt, der auf der entlang der y-Achse verlaufenden Kathete liegt $f(0,y)=0*y(3-0-y)=0$. Die Hypotenuse kann man jetzt auch noch betrachten (müsste man aber eigentlich gar nicht mehr), für Punkte die darauf liegen gilt natürlich auch wieder ein Funktionswert von 0: $f(x,y)=xy((3-x)-(3-x))=x*y*0=0$.

Wir sehen also, dass drei der vier Punkte, die Extremwertkandidaten sind, auf diesem Rand liegen und somit den Funktionswert 0 haben - da innerhalb des Definitionsbereiches Funktionswerte >0 vorkommen können die drei also unmöglich Maxima sein. Somit bleibt nur noch der Punkt $(1,1)$ übrig, und wenn wir den mittels unserer Kriterien überprüfen sehen wir sofort, dass das Ding ein relatives Maximum innerhalb unseres Definitionsbereiches ist - drei Mal einsetzen erspart :)

Ergänzung: Nullstellensuche von Tonico

Wir suchen Nullstellen des Gradienten von $f$ also die Lösungsmenge $L=\{(x,y)|f_{x}(x,y)=0\wedge f_{y}(x,y)=0\}$.

$f_{x}=y(3-2x-y)=0\Rightarrow {\begin{cases}y=0\\3-2x-y=0\end{cases}}$

$f_{y}=x(3-2y-x)=0\Rightarrow {\begin{cases}x=0\\3-2y-x=0\end{cases}}$

Aus dem obigen Gleichungssystem erhalten wir sofort den ersten Punkt:

$x=0\wedge y=0\Rightarrow {\underline {p_{1}=(0,0)}}$

Weitere zwei Punkte erhalten wir, indem wir $x=0$ aus der zweiten Gleichung in die erste einsetzen und umgekehrt $y=0$ in die zweite Gleichung:

$x=0\Leftrightarrow 3-y=0\Leftrightarrow y=3\Rightarrow {\underline {p_{2}=(0,3)}}$

$y=0\Leftrightarrow 3-x=0\Leftrightarrow x=3\Rightarrow {\underline {p_{3}=(3,0)}}$

Jetzt kann es nur noch Punkte geben mit $x\neq 0$ und $y\neq 0$:

$3-2y-x=0\Leftrightarrow y=-{\frac {x-3}{2}}$

$3-2x+{\frac {x-3}{2}}=0\Leftrightarrow x=1$

$x_{}=1\wedge y=1\Rightarrow {\underline {p_{4}=(1,1)}}$

Wir erhalten nun die gesuchte Lösungsmenge mit den Punkten $L=\{(0,0),(0,3),(3,0),(1,1)\}$.

An welchem dieser Punkte die Funktion $f(x,y)$ ihr absolutes Maximum erreicht steht im obigen Lösungsvorschlag von Markus Nemetz.

Log der Korrekturen

• Korrekturen Flüchtigkeitsfehler --Markus Nemetz 19:25, 2. Jul 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 10:12, 11. Mai 2006 (CEST)

Websites

Informatikforum

• UE Runde 7 (11.05.06), Gruppe 12, Allg. Tipps --Markus Nemetz 17:45, 9. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 1 / SS07 Beispiel 116