TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 253

Welches der folgenden Vektorfelder $\overrightarrow{f}=(f_1,f_2,f_3)$ ist ein Gradientenfeld und wie lautet ggf. eine zu $\overrightarrow{f}$ gehörende Stammfunktion?

(a) $(1,1,1)$

(b) $(-x,-y,-z)$

(c) $(2x,2y,0)$

(d) $(yz,xz,x^2)$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x}=0$

$\frac{\partial f_1}{\partial z}=\frac{\partial f_3}{\partial x}=0$

$\frac{\partial f_2}{\partial z}=\frac{\partial f_3}{\partial y}=0$

$\to$ Integrabilitätsbedingungen erfüllt, es existiert eine Stammfunktion F:

$F(x,y,z)=\int 1dx=x+c(y,z)$

$c(y,z)=\int 1dy=y+c\left(z\right)$

$c(z)=\int 1dz=z+c$

$\Rightarrow F(x,y,z)=x+y+z+c$

Beispiel (b)

$\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x}=0$

$\frac{\partial f_1}{\partial z}=\frac{\partial f_3}{\partial x}=0$

$\frac{\partial f_2}{\partial z}=\frac{\partial f_3}{\partial y}=0$

$\to$ Integrabilitätsbedingungen erfüllt, es existiert eine Stammfunktion F:

$F(x,y,z)=\int -xdx=-\frac{x^2}{2}+c(y,z)$

$c(y,z)=\int -ydy=-\frac{y^2}{2}+c\left(z\right)$

$c(z)=\int -zdz=-\frac{z^2}{2}+c$

$\Rightarrow F(x,y,z)=-\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}-\frac{z^2}{2}+c$

Beispiel (c)

$\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x}=0$

$\frac{\partial f_1}{\partial z}=\frac{\partial f_3}{\partial x}=0$

$\frac{\partial f_2}{\partial z}=\frac{\partial f_3}{\partial y}=0$

$\to$ Integrabilitätsbedingungen erfüllt, es existiert eine Stammfunktion F:

$F(x,y,z)=\frac{2x^2}{2}+\frac{2y^2}{2}+c=x^2+y^2+c$

Beispiel (d)

$\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x}=z$

$\frac{\partial f_1}{\partial z}=\frac{\partial f_3}{\partial x}\to y=2x\to$ Integrabilitätsbedingungen NICHT erfüllt

keine Stammfunktion vorhanden.

--Exsanguis 01:21, 25. Mai 2010 (CEST)

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 2 (ähnliches Beispiel)