TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 253

Welches der folgenden Vektorfelder ${\vec {f}}=(f_{1},f_{2},f_{3})$ ist ein Gradientenfeld und wie lautet ggf. eine zu ${\vec {f}}$ gehörende Stammfunktion?

(a) $(1,1,1)$

(b) $(-x,-y,-z)$

(c) $(2x,2y,0)$

(d) $(yz,xz,x^{2})$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}=0$

$\rightarrow$ Integrabilitätsbedingungen erfüllt, es existiert eine Stammfunktion F:

$F\left(x,y,z\right)=\int 1\,{dx}=x+c\left(y,z\right)$

$c(y,z)=\int 1\,{dy}=y+c\left(z\right)$

$c(z)=\int 1\,{dz}=z+c$

$\Rightarrow F\left(x,y,z\right)=x+y+z+c$

Beispiel (b)

${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}=0$

$\rightarrow$ Integrabilitätsbedingungen erfüllt, es existiert eine Stammfunktion F:

$F\left(x,y,z\right)=\int -x\,dx=-{\frac {{x}^{2}}{2}}+c\left(y,z\right)$

$c(y,z)=\int -y\,{dy}=-{\frac {{y}^{2}}{2}}+c\left(z\right)$

$c(z)=\int -z\,{dz}=-{\frac {{z}^{2}}{2}}+c$

$\Rightarrow F\left(x,y,z\right)=-{\frac {{x}^{2}}{2}}-{\frac {{y}^{2}}{2}}-{\frac {{z}^{2}}{2}}+c$

Beispiel (c)

${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}=0$

$\rightarrow$ Integrabilitätsbedingungen erfüllt, es existiert eine Stammfunktion F:

$F\left(x,y,z\right)={\frac {2{x}^{2}}{2}}+{\frac {2{y}^{2}}{2}}+c={x}^{2}+{y}^{2}+c$

Beispiel (d)

${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=z$

${\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}\rightarrow y=2x\rightarrow$ Integrabilitätsbedingungen NICHT erfüllt

keine Stammfunktion vorhanden.

--Exsanguis 01:21, 25. Mai 2010 (CEST)

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 2 (ähnliches Beispiel)