TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 247

Man berechne das unbestimmte Integral $\int {\frac {x^{2}+1}{x^{3}+x^{2}-x-1}}\,\mathrm {d} x$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Mathebuch Seite 208-209, ist genau dieses Bsp. zu finden... Ja, der erste Versuch ist bei der Partialbruchzerlegung falsch.

Vorschlag von Moritz.F

ausklammern und auf vollständiges Quadrat ergänzen, dann $(x+1)^{2}$
nochmal ausklammern: ${\frac {x^{2}+1}{x(x^{2}+x-1+x+2)-1-x^{2}-2x}}={\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)}}$
jetzt Partialbruchzerlegung ${\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)}}={\frac {Ax+B}{(x+1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)}}=>A=B=C={\frac {1}{2}}$
1/2 ausklammern, dann integrieren: ${\frac {1}{2}}*\int {\frac {x}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{(x-1)}}\,dx$
${\frac {1}{2}}*(ln(|x+1|)+{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x+1}}+ln(|x-1|))={\frac {1}{2}}*(ln(|x+1|)+ln(|x-1|)$

Kommentar von Alkogan

Laut Mathematica müsste das stimmen: ${\frac {1}{1+x}}+{\frac {1}{2}}ln|-1+x|+{\frac {1}{2}}ln|1+x|+c$

Ich glaube der Fehler liegt bei der Partialbruchzerlegung, ich bekomme da:

$A=C={\frac {1}{2}}$

$B=-1$

Kommentar von --Mhaslhofer 17:06, 18. Okt. 2009 (CEST)

Die Partialbruchzerlegung der Lösung stimmt glaub ich nicht:

${\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)}}={\frac {Ax+B}{(x+1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)}}=>A=B=C={\frac {1}{2}}$

Der Term ${\frac {Ax+B}{(x+1)^{2}}}$ deutet auf eine nicht reelle Nullstelle hin. $(x+1)^{2}$ hat aber eine reelle (doppelte) Nullstelle auf x = -1

Mein Vorschlag zum Partialbruch (deckt sich mit Alkogans Kommentar):

${\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)}}={\frac {A}{(x-1)}}+{\frac {B}{(x+1)}}+{\frac {C}{(x+1)^{2}}}=>A=B={\frac {1}{2}},C=-1$

und daher, die Lösung von Alkogan:

$\int {\frac {x^{2}+1}{x^{3}+x^{2}-x-1}}\,dx={\frac {1}{1+x}}+{\frac {1}{2}}ln|x-1|+{\frac {1}{2}}ln|1+x|+c$

Links

Siehe Buch Seite 208-209.

• Partialbruchzerlegung bei Wikipedia
• Dieses Integral bei Wolfram Alpha