TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 247

Man berechne das unbestimmte Integral $\int \frac{x^2+1}{x^3+x^2-x-1}\mathrm{d}x$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Mathebuch Seite 208-209, ist genau dieses Bsp. zu finden... Ja, der erste Versuch ist bei der Partialbruchzerlegung falsch.

Vorschlag von Moritz.F

ausklammern und auf vollständiges Quadrat ergänzen, dann $(x+1{)}^2$
nochmal ausklammern: $\frac{x^2+1}{x(x^2+x-1+x+2)-1-x^2-2x}=\frac{x^2+1}{(x+1{)}^2(x-1)}$
jetzt Partialbruchzerlegung $\frac{x^2+1}{(x+1{)}^2(x-1)}=\frac{Ax+B}{(x+1{)}^2}+\frac{C}{(x-1)}=>A=B=C=\frac{1}{2}$
1/2 ausklammern, dann integrieren: $\frac{1}{2}\ast \int \frac{x}{(x+1{)}^2}+\frac{1}{(x+1{)}^2}+\frac{1}{(x-1)}dx$
$\frac{1}{2}\ast (ln(|x+1|)+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}+ln(|x-1|))=\frac{1}{2}\ast (ln(|x+1|)+ln(|x-1|)$

Kommentar von Alkogan

Laut Mathematica müsste das stimmen: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2}ln|-1+x|+\frac{1}{2}ln|1+x|+c$

Ich glaube der Fehler liegt bei der Partialbruchzerlegung, ich bekomme da:

$A=C=\frac{1}{2}$

$B=-1$

Kommentar von --Mhaslhofer 17:06, 18. Okt. 2009 (CEST)

Die Partialbruchzerlegung der Lösung stimmt glaub ich nicht:

$\frac{x^2+1}{(x+1{)}^2(x-1)}=\frac{Ax+B}{(x+1{)}^2}+\frac{C}{(x-1)}=>A=B=C=\frac{1}{2}$

Der Term $\frac{Ax+B}{(x+1{)}^2}$ deutet auf eine nicht reelle Nullstelle hin. $(x+1{)}^2$ hat aber eine reelle (doppelte) Nullstelle auf x = -1

Mein Vorschlag zum Partialbruch (deckt sich mit Alkogans Kommentar):

$\frac{x^2+1}{(x+1{)}^2(x-1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(x+1{)}^2}=>A=B=\frac{1}{2},C=-1$

und daher, die Lösung von Alkogan:

$\int \frac{x^2+1}{x^3+x^2-x-1}dx=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2}ln|x-1|+\frac{1}{2}ln|1+x|+c$

Links

Siehe Buch Seite 208-209.

• Partialbruchzerlegung bei Wikipedia
• Dieses Integral bei Wolfram Alpha