Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen
- (a)
![{\displaystyle x_{n+2}-5x_{n+1}-6x_{n}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3d2d1cc4196941fd0789492b4fa15b87&mode=mathml)
- (b)
![{\displaystyle x_{n+2}-6x_{n+1}+12x_{n}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=15e4473943cad25724cab282508cb829&mode=mathml)
- (c)
![{\displaystyle x_{n+2}-5x_{n+1}+6{,}25x_{n}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a958448ad0a495a80ec63fffca394e0c&mode=mathml)
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
(a):
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Wir wählen als Ansatz
. Für lineare Differenzengleichungen ergibt sich eine charakteristische Gleichung der Form:
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\lambda ^{n+2}+a\lambda ^{n+1}+b\lambda ^{n}&=0&\quad &{\text{durch }}\lambda ^{n}{\text{ dividieren}}\\\lambda ^{2}+a\lambda +b&=0&&\end{alignedat}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0048fc429c17b87c7245f7345e466e37&mode=mathml)
Für unsere Differenzengleichung heißt das:
![{\displaystyle \lambda ^{2}-5\lambda -6=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6ed91ceb4701267098c11ea23aa83b6f&mode=mathml)
Einsetzen in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}_{1}\lambda _{2}&={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}-4b}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {(-5)^{2}-4(-6)}}}{2}}\\&={\frac {5\pm {\sqrt {25+24}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {49}}}{2}}\\&={\frac {5\pm 7}{2}}=-1;6\end{aligned}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=70f7003f34077d86d9f9ed30e663258c&mode=mathml)
Nach Adam Riesling (Satz 7.17, Buch S. 282) gilt, dass man alle Lösungen der homogenen Gleichung durch 2 linear unabhängige Lösungen erhält duch den Ausdruck
![{\displaystyle x_{n}=C_{1}\cdot x_{n}^{(1)}+C_{2}\cdot x_{n}^{(2)}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=58cfb1b7b900b373213f684c6bfd6c51&mode=mathml)
D.h., für unsere Beispiel lautet die allgemeine Lösung (der Ansatz war ja
):
![{\displaystyle x_{n}=C_{1}\cdot (-1)^{n}+C_{2}\cdot 6^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=872ed64f5815947169f68952d132be76&mode=mathml)
(b):
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Nach dem selben Schema:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{2}&-6\lambda +12=0\\_{1}\lambda _{2}&={\frac {6\pm {\sqrt {(-6)^{2}-4\cdot 12}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {36-48}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {-12}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {2\cdot 2\cdot 3}}}{2}}=3\pm {\frac {2\cdot {\sqrt {3}}i}{2}}\\&=3\pm {\sqrt {3}}i\end{aligned}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7363b86c0264008b925f738a16897726&mode=mathml)
Für komplexe Zahlen meint das Buch (S. 283; Fall ii), dass man die Werte am Besten in Polarkoordinaten umrechnet
![{\displaystyle {\begin{array}{c c}{\begin{aligned}r&={\sqrt {\operatorname {Re} ^{2}+\operatorname {Im} ^{2}}}\\&={\sqrt {(3)^{2}+(\pm {\sqrt {3}})^{2}}}\\&={\sqrt {12}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}\varphi &=\operatorname {atan} ({\frac {\operatorname {Im} }{\operatorname {Re} }})\\&=\operatorname {atan} ({\frac {\pm {\sqrt {3}}}{-3}})\\&=\pm 0{,}5236\end{aligned}}\\\end{array}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=437d1d5dba662784abc0313ebb6e163d&mode=mathml)
und das Ergebnis anschreibt als
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=C_{1}r^{n}(\operatorname {cos} (n\varphi )+i\operatorname {sin} (n\varphi ))+C_{2}r^{n}(\operatorname {cos} (n\varphi )-i\operatorname {sin} (n\varphi ))\\&=r^{n}((C_{1}+C_{2})\operatorname {cos} (n\varphi )+i(C_{1}-C_{2})\operatorname {sin} (n\varphi ))\end{aligned}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=23918fc9c343cd90fa65a7dc0522ace7&mode=mathml)
Wählen wir nun C1 und C2 konjugiert komplex, so sind die Werte D1 = (C1 + C2) und D2 = i(C1-C2) wieder reell, und wir erhalten
![{\displaystyle x_{n}=r^{n}(D_{1}\cdot \operatorname {cos} (n\varphi )+D_{2}\cdot \operatorname {sin} (n\varphi )){\text{ mit }}D_{1},D_{2}\in \mathbb {R} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fdecba2c9554503e2388764e6e06e77f&mode=mathml)
was bei uns dann so aussieht:
![{\displaystyle x_{n}={\sqrt {12}}^{n}(D_{1}\cdot \operatorname {cos} (n\cdot 0{,}5236)+D_{2}\cdot \operatorname {sin} (n\cdot 0{,}5236))}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3550b45ae6bc0b261b1a55d313e25d35&mode=mathml)
Korrigiert, Crispy 19:36, 14. Jun. 2010 (CEST)
Anmerkung, Nec : Die Dezimalzahl 0.5236 lässt sich im Bogenmaß schöner als
darstellen.
(c):
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{2}&-5\lambda +6{,}25=0\\_{1}\lambda _{2}&={\frac {5\pm {\sqrt {25-4\cdot 6{,}25}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {0}}}{2}}\\&=2{,}5\end{aligned}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0b31ee84333e2cda5781fc97eebf5fa1&mode=mathml)
Für diesen Fall empfiehlt das Buch als erste Partikulärlösung
, für die zweite
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=C_{1}\lambda _{1}^{n}+C_{2}n\lambda _{1}^{n}=(C_{1}+C_{2}n)\lambda _{1}^{n}\\&=(C_{1}+C_{2}n)2{,}5^{n}\end{aligned}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5734eaa7b2bd84e4b90940a519bf70ec&mode=mathml)
P.W.N.E.D.
Crispy 03:24, 11. Jun. 2010 (CEST)
Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt]. --Markus Nemetz 09:53, 9. Jun 2006 (CEST)
Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 82