TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 389

Durch Einsetzen bestätige man, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-6y=12\ln x$

durch

$y(x)=C_1{x}^3+\frac{C_2}{x^2}-2\ln x+\frac{1}{3}$, $C_1,C_2\in ℝ$

gegeben ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen $y(1)=\frac{2}{3}$, $y^{\prime }(1)=-1$?

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

$y(x)=C_1{x}^3+\frac{C_2}{x^2}-2\ln x+\frac{1}{3}$

$y^{\prime }(x)=3C_1{x}^2-2\frac{C_2}{x^3}-2\frac{1}{x}$

$y^{″}(x)=6C_{1}x+6\frac{C_2}{x^4}+2\frac{1}{x^2}$

$\begin{array}{cc}{x}^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-6y& =12\ln x\\ x^2\cdot (6C_{1}x+6\frac{C_2}{x^4}+2\frac{1}{x^2})-6y& =12\ln x\\ 6C_1{x}^3+6\frac{C_2}{x^2}+2-6y& =12\ln x\\ 6y& =6C_1{x}^3+6\frac{C_2}{x^2}-12\ln x+2\\ y& =C_1{x}^3+\frac{C_2}{x^2}-2\ln x+\frac{1}{3}\\ \end{array}$

Das ist nun das gleich $y(x)$ aus der Angabe.

$y(1)=\frac{2}{3}=C_1\cdot 1^3+\frac{C_2}{1^2}-2\ln 1+\frac{1}{3}=C_1+C_2+\frac{1}{3}$

$y^{\prime }(1)=-1=3C_1\cdot 1^2-2\frac{C_2}{1^3}-2\frac{1}{1}=3C_1-2C_2-2$

$C_1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-C_2=\frac{1}{3}-C_2$

$\begin{array}{cc}-1& =3(\frac{1}{3}-C_2)-2C_2-2\\ -1& =1-3C_2-2C_2-2\\ -1& =-5C_2-1\\ C_2& =0\end{array}$

$C_1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$

$y(x)=C_1{x}^3+\frac{C_2}{x^2}-2\ln x+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}{x}^3-2\ln x+\frac{1}{3}$

Lösung

Achtung das Vorzeichen des letzten Summanden für (4) scheint falsch zu sein! aichingm 29.05.2018 10:48:33

Einsetzen

(1)$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-6y=12ln(x)$

(2)$y(x)=C_1{x}^3+\frac{C_2}{x^2}-2ln(x)+\frac{1}{3}$
(3)$y^{\prime }(x)=3C_1{x}^2-\frac{2C_2}{x^3}-\frac{2}{x}$
(4)$y^{″}(x)=6C_{1}x+\frac{6C_2}{x^4}-\frac{2}{x^2}$

Wir setzen (4) und (2) in (1) ein
$x^2\ast (6C_{1}x+\frac{6C_2}{x^4}-\frac{2}{x^2})-6\ast (C_1{x}^3+\frac{C_2}{x^2}-2ln(x)+\frac{1}{3})=12ln(x)$
und lösen auf
$6C_1{x}^3+\frac{6C_2}{x^2}-\frac{2}{1}-6C_1{x}^3-\frac{6C_2}{x^2}+12ln(x)-\frac{6}{3}=12ln(x)$
wie man sieht fallen fast alle der Terme weg und es bleibt
$12ln(x)=12ln(x)$
womit bestätigt ist dass (2) tatsächlich eine Lösung von (1) ist.

Anfangsbedingungen Setzen wir nun 1 in (2) und (3) ein
(5)$y(1)=C_1+\frac{C_2}{1}+\frac{1}{3}$
(6)$y^{\prime }(1)=3C_1-\frac{2C_2}{1}-2$

drücken wir nun aus (5) $C_1$ durch $C_2$ aus
$C_1=\frac{1}{3}-C_2$
und setzen das Ergebnis in (6) ein
$1-3C_2-2C_2-2=-1$
$5C_2=0$
$C_2=0\to C_1=1/3$

Nun setzen wir nur noch in (2) ein und haben damit die partikuläre Lösung:
$y_p(x)=\frac{x^3}{3}-2ln(x)+\frac{1}{3}$

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 16:47, 12. Jun 2006 (CEST)