TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 390

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Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung

 y'' + 2y' + 2y = 0

zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1 und y'(0) = 0.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Allgemeine Lösung[Bearbeiten]

y'' + 2y' + 2y = 0

Charakteristische Gleichung: \lambda^2 + 2\lambda + 2 = 0

\lambda_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{2}{2} \right) ^2 - 2}

\Rightarrow \ \lambda_{1} = -1+i, \lambda_{2} = -1-i

\lambda_{1}, \lambda_{2} \in \C, \lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta

Ansatz: y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos( \beta x) + C_2 \sin(\beta x))

\Rightarrow y(x) = e^{-x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) mit C_1,C_2 \in \R

Anfangsbedingungen[Bearbeiten]

\begin{align} y'(x) 
&= -1 \cdot e^{-x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) + e^{-x}(- C_1 \sin x + C_2 \cos x) \\
&= e^{-x} \left(C_2 \cos x - C_1 \sin x - C_1 \cos x - C_2 \sin x \right) \\
&= e^{-x} \left(C_2 \left( \cos x - \sin x \right) - C_1 \left( \sin x + \cos x \right) \right)
\end{align}

\begin{align}
y(0) = 1 &= e^{-0} \cdot (C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0) \\
1 &= 1 \cdot (C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) \\
C_1 &= 1
\end{align}

\begin{align}
y'(0) = 0 &= e^{-0} \left(C_2 \left( \cos 0 - \sin 0 \right) - C_1 \left( \sin 0 + \cos 0 \right) \right) \\
0 &= 1 \cdot \left(C_2 \left( 1 - 0 \right) - C_1 \left( 0 + 1 \right) \right) \\
0 &= C_2 - C_1 \\
C_1 &= C_2 = 1
\end{align}

Die partikuläre Lösung ist daher:

y(x) = e^{-x}(\cos x + \sin x)

Lösungs aus 2004[Bearbeiten]

Lösung aus 2004