TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Ansatzmethode

Nachdem die Ansatzmethode aus dem Scriptum (S29-31) nur recht mühsam erarbeitbar ist, hat Prof. Urbanek heute eine allgemeinere Auslegung zur Ergänzung der VO geliefert:

Wir gehen von einer Differenzen-Gleichung aus, die eine Störfunktion der folgenden Form beinhaltet:

Störfunktion $=\underbrace {P(n)} _{\text{Polynom vom Grad g}}\cdot K^{n}$.

Die spezielle (eine partikuläre) Lösung ergibt sich aus dem Ansatz: $a_{n}^{(p)}=\underbrace {Q(n)} _{\text{unbestimmtes Polynom vom Grad g}}\cdot K^{n}\cdot n^{i}$,

wobei i die Vielfachheit von K als Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist (siehe Beispiele).

Bitte Durchatmen :-).

• das unbestimmte Polynom Q(n) der Lösung muß (mindestens) denselben Grad (Potenz) der Störfunktion P(n) haben.
• um ein instabiles Verhalten (Resonanzfall) des Lösungs-Polynoms zu vermeiden, muß n so oft multipliziert werden, wie K eine Nullstelle ist.

Beispiele:

• z.B. Störfunktion $=2^{n}=\underbrace {1} _{P(n)}\cdot \underbrace {2^{n}} _{K^{n}}\Longrightarrow$

$A\cdot 2^{n}\cdot n^{i}$

• z.B. Störfunktion $=(n^{2}-5n+7)3^{n}\Longrightarrow$

$(An^{2}+Bn+C)3^{n}\cdot n^{i}$

• z.B. Störfunktion $=2n+3\quad (=(2n+3)\cdot 1^{n}\Longrightarrow$

$(An+B)\cdot n^{i}$

• z.B. Störfunktion $=3^{2n-1}\quad =3^{2n}3^{-1}={\tfrac {1}{3}}9^{n}\Longrightarrow$

$A\cdot 9^{n}\cdot n^{i}$, wobei i =Vielfachheit von 9 als Nullstelle der char. Glchg!)

• etc.

--Baccus 01:32, 14. Jun 2007 (CEST)