TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Ansatzmethode

Nachdem die Ansatzmethode aus dem Scriptum (S29-31) nur recht mühsam erarbeitbar ist, hat Prof. Urbanek heute eine allgemeinere Auslegung zur Ergänzung der VO geliefert:

Wir gehen von einer Differenzen-Gleichung aus, die eine Störfunktion der folgenden Form beinhaltet:

Störfunktion $=\underset{\text{Polynom vom Grad g}}{\underbrace{P(n)}}\cdot K^n$.

Die spezielle (eine partikuläre) Lösung ergibt sich aus dem Ansatz: $a_n^{(p)}=\underset{\text{unbestimmtes Polynom vom Grad g}}{\underbrace{Q(n)}}\cdot K^n\cdot n^i$,

wobei i die Vielfachheit von K als Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist (siehe Beispiele).

Bitte Durchatmen :-).

• das unbestimmte Polynom Q(n) der Lösung muß (mindestens) denselben Grad (Potenz) der Störfunktion P(n) haben.
• um ein instabiles Verhalten (Resonanzfall) des Lösungs-Polynoms zu vermeiden, muß n so oft multipliziert werden, wie K eine Nullstelle ist.

Beispiele:

• z.B. Störfunktion $=2^n=\underset{P(n)}{\underbrace{1}}\cdot \underset{K^n}{\underbrace{2^n}}⟹$

$A\cdot 2^n\cdot n^i$

• z.B. Störfunktion $=(n^2-5n+7)3^n⟹$

$(A{n}^2+Bn+C)3^n\cdot n^i$

• z.B. Störfunktion $=2n+3(=(2n+3)\cdot 1^n⟹$

$(An+B)\cdot n^i$

• z.B. Störfunktion $=3^{2n-1}=3^{2n}{3}^{-1}=\frac{1}{3}{9}^n⟹$

$A\cdot 9^n\cdot n^i$, wobei i =Vielfachheit von 9 als Nullstelle der char. Glchg!)

• etc.

--Baccus 01:32, 14. Jun 2007 (CEST)