TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Kettenregel

Prof. Karigl hat anläßlich der 1. UE-Prüfung eine erweiterte Definition der Kettenregel zur Ergänzung der VO geliefert.

Bitte nicht von der mathematischen Bleiwüste unten abschrecken lassen; wenn man's Schritt für Schritt nachvollzieht, ist es halb so wild...:-)

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

$\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

• Einfache Ableitung einer Funktion mit einer Variablen:

$f(u),u=g(t)$

$\frac{d}{dt}f(g(t))=\frac{df}{d\underset{g()}{\underbrace{u}}}\cdot \frac{dg}{dt}(=f_u\cdot g^{\prime })$

• Ableitung einer Funktion mit zwei Variablen: Summe der partiellen Ableitungen:

$f(u,v),u=u(t),v=v(t)$

$\frac{d}{dt}f(u(t),v(t))=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{du}{dt}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dt}(=f_u{u}^{\prime }+f_v{v}^{\prime })$

• Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen: Summe aller partiellen Ableitungen:

$f(u_1,u_2,\dots ,u_n),u_i=u_i(t)\mathrm{\forall }i$

$\frac{d}{dt}f(u_1(t),u_2(t),\dots ,u_n(t))=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial u_i}\cdot \frac{d{u}_i}{dt}(=\sum _i{f}_{u_i}\cdot {u_i}^{\prime })$

• Ableitung einer Funktion mit abhängigen Variablen (Unterfunktionen):

$f(u,v),u=u(s,t),v=v(s,t)$

$\frac{\partial }{\partial s}f(u(s,t),v(s,t))=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial s}$

$\frac{\partial }{\partial t}$ w.o. (t statt s)

--Baccus 02:34, 20. Apr 2007 (CEST)